Converta os valores Decimais para Binário representado em Complemento-2, utilizando o menor número de bits possível em cada caso.
5_{10}= & -5_{10}=

Passo 1

O enunciado pede para converter os números decimais 5_{10} e -5_{10} para binário usando complemento de dois, e usando o menor número de bits possível em cada caso. Informações dadas: os dois números a converter são 5_{10} e -5_{10}. A tarefa é achar a representação em complemento de dois para cada um, com o menor número de bits que ainda permita representar o valor.

Passo 2

Entendendo o que significa “menor número de bits possível” em complemento de dois. Para representar valores com n bits em complemento de dois, os valores possíveis vão de
-2^{\,n-1}\quad\text{até}\quad 2^{\,n-1}-1.é
Isso significa que, para um dado inteiro x, precisamos escolher o menor n tal que x esteja dentro desse intervalo. Vou testar valores de n crescentes (começando por pequenos) até achar o menor n que funciona.

Passo 3

Determinar o menor n para representar 5. O máximo positivo com n bits é 2^{\,n-1}-1. Testando:
  • Para n=3: 2^{\,3-1}-1 = 2^{2}-1 = 4-1 = 3. Não cabe 5.
  • Para n=4: 2^{\,4-1}-1 = 2^{3}-1 = 8-1 = 7. Cabe 5 (porque 5\le 7).
    Portanto o menor número de bits para representar 5 em complemento de dois é n=4.

Passo 4

Determinar o menor n para representar -5. O menor (mais negativo) valor representável é -2^{\,n-1}. Precisamos de -2^{\,n-1}\le -5, ou equivalentemente 2^{\,n-1}\ge 5. Testando:
  • Para n=3: 2^{\,3-1}=2^{2}=4, insuficiente (não alcança 5).
  • Para n=4: 2^{\,4-1}=2^{3}=8, suficiente.
    Portanto o menor número de bits para representar -5 em complemento de dois também é n=4.

Passo 5

Agora vamos achar a representação binária de 5 em 4 bits. Método: converter 5 para binário puro (divisões por 2) e preencher com zeros à esquerda até 4 bits.
Fazendo as divisões:
5 \div 2 = 2\\ \text{resto}\\\ 1
2 \div 2 = 1\\ \text{resto}\\\ 0
1 \div 2 = 0\\ \text{resto}\\\ 1
Lendo os restos de baixo para cima temos 101. Colocando em 4 bits (com zero à esquerda):
5_{10} = 0101_{2}\\ \text{(4 bits)}.

Passo 6

Explicando por que um número positivo em complemento de dois aparece igual ao seu binário simples com zeros à esquerda: em complemento de dois, os números não-negativos são codificados exatamente como em binário normal, desde que se usem n bits suficientes. Então 5_{10} fica 0101_{2} em 4 bits.

Passo 7

Agora converter -5 para complemento de dois com 4 bits. Método (procedimento padrão e simples):
  1. Pegue o binário de |-5|=5 em 4 bits: 0101.
  2. Inverta todos os bits (operador NOT): 0101 \to 1010.
  3. Some 1 ao resultado (adição binária): 1010 + 1 = 1011.
    Mostrando a adição:
\begin{array}{r} \\ \\\ 1010\\\\ + \\ \\\ 0001\\\ \hline \\ \\\ 1011 \end{array}
Logo a representação em complemento de dois (4 bits) é 1011_{2}.

Passo 8

Verificação (aula rápida sobre interpretação de complemento de dois): para uma representação de n bits b_{n-1}b_{n-2}\dots b_1b_0, o valor é
- b_{n-1}\,2^{\,n-1} + \sum_{k=0}^{n-2} b_k\,2^{\,k}.
Aplicando a 1011_{2} com n=4:
-1\cdot 2^{3} + 0\cdot 2^{2} + 1\cdot 2^{1} + 1\cdot 2^{0} = -8 + 0 + 2 + 1 = -5.
Confirma que 1011_{2} (4 bits) representa mesmo -5.

Resposta

5_{10} = 0101_{2} (complemento de dois, 4 bits)\n -5_{10} = 1011_{2} (complemento de dois, 4 bits)

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