Converter para binário os seguintes números decimais:
b) 0,2
Passo 1
O enunciado pede: converter o número decimal 0,2 para representação em base binária (base 2).
Informações dadas:
O número a converter é 0,2 (ou seja, vinte centésimos, que em fração é \tfrac{1}{5}).
Nada mais é fornecido.
Passo 2
Vou explicar o método que vou usar: método da multiplicação sucessiva por 2 para frações decimais. A ideia é simples e é a técnica mais prática em prova:
Seja x a parte fracionária (aqui x=0,2). Multiplica-se x por 2.
O inteiro da multiplicação (0 ou 1) é o próximo dígito binário depois da vírgula.
Mantém-se a parte fracionária resultante e repete o processo.
Se em algum passo a parte fracionária ficar 0, a expansão termina (representação finita). Se a parte fracionária repetir um valor já visto, os dígitos entre as repetições formam um bloco periódico (representação periódica).
Por que isso funciona (explicação curta): cada multiplicação por 2 desloca os dígitos binários uma posição para a esquerda; o inteiro obtido é justamente o dígito que “cai” para a posição inteira.
Passo 3
Aplicando o método passo a passo a x=0,2:
0,2 \times 2 = 0,4. Dígito obtido: 0. Parte fracionária para continuar: 0,4.
0,4 \times 2 = 0,8. Dígito obtido: 0. Parte fracionária para continuar: 0,8.
0,8 \times 2 = 1,6. Dígito obtido: 1. Parte fracionária para continuar: 0,6.
0,6 \times 2 = 1,2. Dígito obtido: 1. Parte fracionária para continuar: 0,2.
Repare que após o quarto passo a parte fracionária voltou a ser 0,2, exatamente o valor inicial. Isso significa que os quatro dígitos obtidos (0,0,1,1) repetem ciclicamente. Portanto a expansão binária é periódica com bloco 0011.
Passo 4
Escrevendo a expansão com o bloco repetido:
0,2_{10} = 0,\overline{0011}_2.
Aqui a notação \overline{0011} indica que 0011 se repete indefinidamente na parte fracionária em base 2.
Passo 5
Verificação algébrica curta (para ficar seguro): seja b = 0,\overline{0011}_2. O bloco tem comprimento 4, então multiplicando por 2^{4}=16 deslocamos o período:
16b = 3 + b \quad\Rightarrow\quad 15b = 3 \quad\Rightarrow\quad b = \frac{3}{15} = \frac{1}{5} = 0,2_{10}.
A conta confirma que 0,\overline{0011}_2 é igual a 0,2 em decimal.
Passo 6
Comentário final didático e motivador: em base 2 uma fração decimal tem expansão finita somente se o denominador (em forma irreduzível) for potência de 2. Como 5 não é potência de 2, a representação é periódica. O período aqui tem comprimento 4 porque 2^4\equiv1\pmod{5}. Bom trabalho — você conseguiu entender tanto o procedimento prático quanto a razão matemática por trás!