O valor máximo da função
x, é:
(A) 1
(B) 2
(C)
(D)
(A) 1
(B) 2
(C)
(D)
Passo 1
O enunciado pede o valor máximo da função
.
Informações dadas:
Informações dadas:
- A função é
. - Opções de resposta: (A)
, (B) , (C) , (D) .
Passo 2
Ideia geral (sem resolver ainda): somas do tipo
podem ser reescritas como um único seno (ou cosseno) multiplicado por uma amplitude
. Essa reescrita torna imediato o valor máximo, pois o seno varia entre
e
. Vamos desenvolver isso passo a passo.
Passo 3
Recordando a identidade do seno da soma de ângulos:
Isto significa que, se conseguirmos escrever
na forma
então usando a identidade acima teremos
Comparando com
, obtemos as igualdades dos coeficientes de
e
:
Passo 4
A partir do sistema
podemos encontrar
elevando ao quadrado e somando as duas equações:
Como
, o lado esquerdo vira
. Assim:
usando
.
Passo 5
Agora, para
, dividimos as duas igualdades:
Uma solução principal é
(podemos tomar essa, pois
e
têm sinal positivo aqui e ambos são
). De fato, verificando:
Passo 6
Portanto podemos escrever
Isto é muito útil porque sabemos que, para qualquer argumento
,
Multiplicando por
obtemos
Logo o valor máximo possível de
é
, alcançado quando
.
Passo 7
Para encontrar os
que dão o máximo, resolver
ou seja
Assim o máximo
é realmente atingido (por exemplo em
).
Passo 8
Observação alternativa e curta (método de desigualdade, para confirmar): pela desigualdade de Cauchy-Schwarz para os vetores
e
,
A igualdade ocorre quando os vetores são proporcionais, isto é quando
com sinal positivo, o que dá novamente
.
Resposta
(C)