O valor máximo da função \mathrm{f}(\mathrm{x})=\operatorname{sen} \mathrm{x}+\cos x, é:
(A) 1
(B) 2
(C) \sqrt{2}
(D) \sqrt{3}

Passo 1

O enunciado pede o valor máximo da função f(x)=\operatorname{sen} x+\cos x.
Informações dadas:
  • A função é f(x)=\operatorname{sen} x+\cos x.
  • Opções de resposta: (A) 1, (B) 2, (C) \sqrt{2}, (D) \sqrt{3}.

Passo 2

Ideia geral (sem resolver ainda): somas do tipo a\operatorname{sen} x+b\cos x podem ser reescritas como um único seno (ou cosseno) multiplicado por uma amplitude R>0. Essa reescrita torna imediato o valor máximo, pois o seno varia entre -1 e 1. Vamos desenvolver isso passo a passo.

Passo 3

Recordando a identidade do seno da soma de ângulos:
\operatorname{sen}(u+v)=\operatorname{sen} u\cos v+\cos u\operatorname{sen} v.
Isto significa que, se conseguirmos escrever f(x) na forma
f(x)=R\operatorname{sen}(x+\varphi),
então usando a identidade acima teremos
R\operatorname{sen}(x+\varphi)=R\bigl(\operatorname{sen} x\cos\varphi+\cos x\operatorname{sen}\varphi\bigr).
Comparando com f(x)=\operatorname{sen} x+\cos x, obtemos as igualdades dos coeficientes de \operatorname{sen} x e \cos x:
R\cos\varphi=1,\qquad R\operatorname{sen}\varphi=1.

Passo 4

A partir do sistema
R\cos\varphi=1,\qquad R\operatorname{sen}\varphi=1,
podemos encontrar R elevando ao quadrado e somando as duas equações:
(R\cos\varphi)^2+(R\operatorname{sen}\varphi)^2=1^2+1^2.
Como \cos^2\varphi+\operatorname{sen}^2\varphi=1, o lado esquerdo vira R^2(\cos^2\varphi+\operatorname{sen}^2\varphi)=R^2. Assim:
R^2=1+1=2 \quad\Rightarrow\quad R=\sqrt{2},
usando R>0.

Passo 5

Agora, para \varphi, dividimos as duas igualdades:
\frac{R\operatorname{sen}\varphi}{R\cos\varphi}=\frac{1}{1}\quad\Rightarrow\quad \tan\varphi=1.
Uma solução principal é \varphi=\dfrac{\pi}{4} (podemos tomar essa, pois \cos\varphi e \operatorname{sen}\varphi têm sinal positivo aqui e ambos são 1/\sqrt{2}). De fato, verificando:
R\cos\varphi=\sqrt{2}\cdot\frac{1}{\sqrt{2}}=1,\qquad R\operatorname{sen}\varphi=\sqrt{2}\cdot\frac{1}{\sqrt{2}}=1.

Passo 6

Portanto podemos escrever
f(x)=\operatorname{sen} x+\cos x=\sqrt{2}\,\operatorname{sen}\!\left(x+\frac{\pi}{4}\right).
Isto é muito útil porque sabemos que, para qualquer argumento t,
-1\le \operatorname{sen} t\le 1.
Multiplicando por \sqrt{2} obtemos
-\sqrt{2}\le \sqrt{2}\,\operatorname{sen} t\le \sqrt{2}.
Logo o valor máximo possível de f(x) é \sqrt{2}, alcançado quando \operatorname{sen}\!\left(x+\dfrac{\pi}{4}\right)=1.

Passo 7

Para encontrar os x que dão o máximo, resolver
\operatorname{sen}\!\left(x+\frac{\pi}{4}\right)=1 \quad\Rightarrow\quad x+\frac{\pi}{4}=\frac{\pi}{2}+2k\pi,
ou seja
x=\frac{\pi}{4}+2k\pi,\qquad k\in\mathbb{Z}.
Assim o máximo \sqrt{2} é realmente atingido (por exemplo em x=\dfrac{\pi}{4}).

Passo 8

Observação alternativa e curta (método de desigualdade, para confirmar): pela desigualdade de Cauchy-Schwarz para os vetores (1,1) e (\operatorname{sen} x,\cos x),
|\operatorname{sen} x+\cos x| \le \sqrt{1^2+1^2}\,\sqrt{\operatorname{sen}^2 x+\cos^2 x} = \sqrt{2}\cdot 1=\sqrt{2}.
A igualdade ocorre quando os vetores são proporcionais, isto é quando \operatorname{sen} x=\cos x com sinal positivo, o que dá novamente x=\dfrac{\pi}{4}+2k\pi.

Resposta

(C) \sqrt{2}

Exercícios relacionados