D Questão 31

A equação polinomial 1+x+x^{2}+x^{3}+x^{4}+x^{5}=0 possui dois pares de raízes complexas conjugadas e uma raiz real. Considerando i^{2}=-1, assinale a opção que apresenta as raízes complexas dessa equação.
(4) x_{1}=e^{\frac{\pi}{3} i}, x_{2}=e^{\frac{2 \pi}{3} i}, x_{3}=e^{\frac{4 \pi}{3} i} e x_{4}=e^{\frac{5 \pi}{3} i}
(B) x_{1}=e^{\frac{\pi}{5} i}, x_{2}=e^{\frac{2 \pi}{5} i}, x_{3}=e^{\frac{3 \pi}{5} i} e x_{4}=e^{\frac{4 \pi}{5} i}
(D) x_{1}=e^{\frac{\pi}{3} i}, x_{2}=e^{\frac{2 \pi}{3} i}, x_{3}=e^{\pi i} e x_{4}=e^{\frac{4 \pi}{3} i}
(c) x_{1}=e^{\frac{\pi}{6} i}, x_{2}=e^{\frac{\pi}{3} i}, x_{3}=e^{\frac{\pi}{2} i} e x_{4}=e^{\frac{2 \pi}{3} i}
(ㅂ) x_{1}=e^{\frac{\pi}{5} i}, x_{2}=e^{\frac{3 \pi}{5} i}, x_{3}=e^{\frac{6 \pi}{5} i} e x_{4}=e^{\frac{7 \pi}{5} i}

Passo 1

O enunciado dá a equação polinomial
1+x+x^{2}+x^{3}+x^{4}+x^{5}=0
e pede que assinalemos a opção que apresenta as quatro raízes complexas dessa equação (foi dito que existem dois pares de raízes complexas conjugadas e uma raiz real). Também é informado que i^{2}=-1. Essas são todas as informações que o enunciado fornece e o que ele pede: identificar quais são as quatro raízes complexas entre as opções dadas.

Passo 2

Vamos transformar a soma em uma forma mais manejável usando a fórmula da soma de uma progressão geométrica finita. Se S for a soma
S=1+x+x^{2}+\cdots+x^{n-1},
então multiplicando por x e subtraindo obtemos
xS-S = x^{n}-1,
ou seja
S=\frac{x^{n}-1}{x-1},
válido para x\neq 1. No nosso caso temos n=6, então
1+x+x^{2}+x^{3}+x^{4}+x^{5}=\frac{x^{6}-1}{x-1},
desde que x\neq 1. Portanto a equação dada é equivalente (para x\neq 1) a
\frac{x^{6}-1}{x-1}=0 \quad\Longleftrightarrow\quad x^{6}-1=0.

Passo 3

A equação
x^{6}-1=0
quer dizer que procuramos as raízes da unidade de ordem 6, isto é, os complexos x tais que
x^{6}=1.
Pelo que chamamos de raízes n-ésimas da unidade, todas as soluções estão na circunferência unitária e podem ser escritas usando a fórmula de Euler
e^{i\theta}=\cos\theta+i\sin\theta.
As soluções de x^{6}=1 são
x_k = e^{\frac{2\pi i k}{6}},\qquad k=0,1,2,3,4,5.
Esses são seis números igualmente espaçados ao redor do círculo unitário.

Passo 4

Listando explicitamente:
\begin{aligned} x_{0}&=e^{\frac{2\pi i\cdot 0}{6}}=e^{0}=1,\\\ x_{1}&=e^{\frac{2\pi i\cdot 1}{6}}=e^{\frac{\pi i}{3}},\\\ x_{2}&=e^{\frac{2\pi i\cdot 2}{6}}=e^{\frac{2\pi i}{3}},\\\ x_{3}&=e^{\frac{2\pi i\cdot 3}{6}}=e^{\pi i}=-1,\\\ x_{4}&=e^{\frac{2\pi i\cdot 4}{6}}=e^{\frac{4\pi i}{3}},\\\ x_{5}&=e^{\frac{2\pi i\cdot 5}{6}}=e^{\frac{5\pi i}{3}}. \end{aligned}
Da equivalência anterior devemos excluir x_{0}=1 (pois usamos a fórmula com x\neq 1), portanto as raízes da nossa equação são exatamente x_{1},x_{2},x_{3},x_{4},x_{5}. Entre elas x_{3}=e^{\pi i}=-1 é a raiz real (conforme o enunciado) e as quatro restantes são as raízes complexas:
x_{1}=e^{\frac{\pi i}{3}},\quad x_{2}=e^{\frac{2\pi i}{3}},\quad x_{4}=e^{\frac{4\pi i}{3}},\quad x_{5}=e^{\frac{5\pi i}{3}}.
Observe que as duas conjugações acontecem como x_{1} com x_{5} e x_{2} com x_{4}, ou seja, dois pares conjugados, como esperado.

Passo 5

Agora comparemos com as opções dadas: a opção que lista exatamente
x_{1}=e^{\frac{\pi}{3} i},\; x_{2}=e^{\frac{2\pi}{3} i},\; x_{3}=e^{\frac{4\pi}{3} i},\; x_{4}=e^{\frac{5\pi}{3} i}
é a que corresponde às quatro raízes complexas que encontramos (note que a notação dos índices nas opções é apenas enumerativa). Portanto a opção correta é a primeira opção apresentada no enunciado, que estava marcada como (4).

Resposta

(4) x_{1}=e^{\frac{\pi}{3} i}, x_{2}=e^{\frac{2 \pi}{3} i}, x_{3}=e^{\frac{4 \pi}{3} i} e x_{4}=e^{\frac{5 \pi}{3} i}

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