D Questão 31
A equação polinomial
possui dois pares de raízes complexas conjugadas e uma raiz real. Considerando
, assinale a opção que apresenta as raízes complexas dessa equação.
(4)
e
(B)
e
(D)
e
(c)
e
(ㅂ)
e
(4)
(B)
(D)
(c)
(ㅂ)
Passo 1
O enunciado dá a equação polinomial
e pede que assinalemos a opção que apresenta as quatro raízes complexas dessa equação (foi dito que existem dois pares de raízes complexas conjugadas e uma raiz real). Também é informado que
. Essas são todas as informações que o enunciado fornece e o que ele pede: identificar quais são as quatro raízes complexas entre as opções dadas.
Passo 2
Vamos transformar a soma em uma forma mais manejável usando a fórmula da soma de uma progressão geométrica finita. Se
for a soma
então multiplicando por
e subtraindo obtemos
ou seja
válido para
. No nosso caso temos
, então
desde que
. Portanto a equação dada é equivalente (para
) a
Passo 3
A equação
quer dizer que procuramos as raízes da unidade de ordem
, isto é, os complexos
tais que
Pelo que chamamos de raízes
-ésimas da unidade, todas as soluções estão na circunferência unitária e podem ser escritas usando a fórmula de Euler
As soluções de
são
Esses são seis números igualmente espaçados ao redor do círculo unitário.
Passo 4
Listando explicitamente:
Da equivalência anterior devemos excluir
(pois usamos a fórmula com
), portanto as raízes da nossa equação são exatamente
. Entre elas
é a raiz real (conforme o enunciado) e as quatro restantes são as raízes complexas:
Observe que as duas conjugações acontecem como
com
e
com
, ou seja, dois pares conjugados, como esperado.
Passo 5
Agora comparemos com as opções dadas: a opção que lista exatamente
é a que corresponde às quatro raízes complexas que encontramos (note que a notação dos índices nas opções é apenas enumerativa). Portanto a opção correta é a primeira opção apresentada no enunciado, que estava marcada como
.
Resposta
(4)
e