Questão 30

Segundo o IBGE, o topônimo Camaçari, inicialmente escrito Camassary, de origem tupi-guarani, significa “árvore que chora”, devido ao fato de suas folhas ficarem cobertas de gotículas. Com todas as letras da palavra CAMASSARY é possível elaborar uma quantidade de anagramas igual a
(A) 504 .
(B) 3.024 .
(C) 30.240 .
(D) 60.480 .
(E) 362.880 .

Passo 1

O enunciado pede: “Com todas as letras da palavra CAMASSARY é possível elaborar uma quantidade de anagramas igual a ?”. As informações relevantes que o enunciado dá são as letras da palavra \text{CAMASSARY}. Contando as letras temos 9 letras no total, com as seguintes multiplicidades:
\text{C}:1,\quad \text{A}:3,\quad \text{M}:1,\quad \text{S}:2,\quad \text{R}:1,\quad \text{Y}:1.
Portanto a pergunta é quantas permutações distintas (anagramas) podem ser formadas usando todas as 9 letras considerando as repetições indicadas.

Passo 2

Conceito importante: se tivéssemos n objetos todos distintos, o número de maneiras de ordená-los é n! (fatorial de n), onde
n! = n\cdot(n-1)\cdot(n-2)\cdots 2\cdot1.
No nosso caso, se as 9 letras fossem todas distintas, teríamos 9! anagramas. Vamos calcular 9!:
9! = 9\cdot8\cdot7\cdot6\cdot5\cdot4\cdot3\cdot2\cdot1 = 362880.
Explicando: \,9!=362880 é o número de arranjos sem considerar repetições.

Passo 3

Quando há letras repetidas, arranjos que só diferem por permutar cópias idênticas contam como o mesmo anagrama. Para ajustar isso usamos a fórmula para permutações de um multiconjunto:
\text{nº de anagramas}=\frac{n!}{n_1!\,n_2!\cdots n_k!},º
onde n é o total de símbolos e n_1,n_2,\dots,n_k são as multiplicidades de cada símbolo repetido. Intuição: dividimos por n_i! porque as n_i cópias idênticas podem ser permutadas n_i! formas entre si que não geram novas palavras.
Exemplo pequeno para fixar: a palavra “ANA” tem 3 letras com A aparecendo 2 vezes. Pela fórmula:
\frac{3!}{2!}= \frac{6}{2}=3,
que corresponde aos anagramas distintos \text{AAN},\; \text{ANA},\; \text{NAA}. Isso mostra por que dividimos pelo fatorial das repetições.

Passo 4

Aplicando a fórmula ao nosso caso: n=9, as repetições relevantes são 3 letras A e 2 letras S. Assim
\text{nº de anagramas}=\frac{9!}{3!\,2!}.º

Passo 5

Calculamos o denominador e dividimos:
3! = 6,\qquad 2! = 2,\qquad 3!\cdot2! = 6\cdot2 = 12.
Já temos 9! = 362880, então
\frac{9!}{3!\,2!} = \frac{362880}{12} = 30240.
Mostrando a divisão em passos: 362880\div2 = 181440, e 181440\div6 = 30240.

Passo 6

Conclusão: o número de anagramas distintos que podem ser formados com todas as letras de \text{CAMASSARY} é \,30240. Entre as alternativas dadas, isso corresponde à alternativa (C).

Resposta

(C) 30.240

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