Questão 30
Segundo o IBGE, o topônimo Camaçari, inicialmente escrito Camassary, de origem tupi-guarani, significa “árvore que chora”, devido ao fato de suas folhas ficarem cobertas de gotículas. Com todas as letras da palavra CAMASSARY é possível elaborar uma quantidade de anagramas igual a
(A) 504 .
(B) 3.024 .
(C) 30.240 .
(D) 60.480 .
(E) 362.880 .
(A) 504 .
(B) 3.024 .
(C) 30.240 .
(D) 60.480 .
(E) 362.880 .
Passo 1
O enunciado pede: “Com todas as letras da palavra CAMASSARY é possível elaborar uma quantidade de anagramas igual a ?”. As informações relevantes que o enunciado dá são as letras da palavra
. Contando as letras temos
letras no total, com as seguintes multiplicidades:
Portanto a pergunta é quantas permutações distintas (anagramas) podem ser formadas usando todas as
letras considerando as repetições indicadas.
Passo 2
Conceito importante: se tivéssemos
objetos todos distintos, o número de maneiras de ordená-los é
(fatorial de
), onde
No nosso caso, se as
letras fossem todas distintas, teríamos
anagramas. Vamos calcular
:
Explicando:
é o número de arranjos sem considerar repetições.
Passo 3
Quando há letras repetidas, arranjos que só diferem por permutar cópias idênticas contam como o mesmo anagrama. Para ajustar isso usamos a fórmula para permutações de um multiconjunto:
onde
é o total de símbolos e
são as multiplicidades de cada símbolo repetido. Intuição: dividimos por
porque as
cópias idênticas podem ser permutadas
formas entre si que não geram novas palavras.
Exemplo pequeno para fixar: a palavra “ANA” tem
letras com
aparecendo
vezes. Pela fórmula:
que corresponde aos anagramas distintos
. Isso mostra por que dividimos pelo fatorial das repetições.
Passo 4
Aplicando a fórmula ao nosso caso:
, as repetições relevantes são
letras
e
letras
. Assim
Passo 5
Calculamos o denominador e dividimos:
Já temos
, então
Mostrando a divisão em passos:
, e
.
Passo 6
Conclusão: o número de anagramas distintos que podem ser formados com todas as letras de
é
. Entre as alternativas dadas, isso corresponde à alternativa (C).
Resposta
(C)