Dada a equação
e
, determinar pelo método iterativo linear as raízes reais, tomando
com uma tolerância de erro
entre duas iterações consecutivas, operando com 5 casas decimais.
Passo 1
O enunciado pede para encontrar as raízes reais de duas funções
f₁(x)=x²+x−6 e
f₂(x)=x⁴−3x²+x−3
usando o método iterativo linear (iteração de ponto-fixo no formato xₙ₊₁ = xₙ+λf(xₙ)), com chute inicial x₀=1.50000, tolerância |xₙ₊₁−xₙ|≤0.01 e aritmética com 5 casas decimais.
f₁(x)=x²+x−6 e
f₂(x)=x⁴−3x²+x−3
usando o método iterativo linear (iteração de ponto-fixo no formato xₙ₊₁ = xₙ+λf(xₙ)), com chute inicial x₀=1.50000, tolerância |xₙ₊₁−xₙ|≤0.01 e aritmética com 5 casas decimais.
Passo 2
Para garantir convergência na iteração simples em torno de x₀=1.5 para f₁, calculamos f₁’(x)=2x+1. No intervalo próximo à raiz positiva (em torno de x≈2), f₁’(x) varia de 4 a 5, então escolhemos λ₁=0.2 de modo que |1−λ₁f₁’(x)|≤0.2<1. Assim usamos a regra
i) xₙ₊₁ = xₙ − 0.2·f₁(xₙ).
i) xₙ₊₁ = xₙ − 0.2·f₁(xₙ).
Passo 3
Aplicando a iteração para f₁ com 5 casas decimais:
x₀=1.50000
f₁(x₀)=−2.25000 → x₁=1.50000+0.45000=1.95000 (Δ=0.45000)
f₁(x₁)=−0.24750 → x₂=1.95000+0.04950=1.99950 (Δ=0.04950)
f₁(x₂)=−0.00250 → x₃=1.99950+0.00050=2.00000 (Δ=0.00050)
Como Δ=|x₃−x₂|=0.00050≤0.01, paramos. A raiz aproximada é x≈2.00000.
f₁(x₀)=−2.25000 → x₁=1.50000+0.45000=1.95000 (Δ=0.45000)
f₁(x₁)=−0.24750 → x₂=1.95000+0.04950=1.99950 (Δ=0.04950)
f₁(x₂)=−0.00250 → x₃=1.99950+0.00050=2.00000 (Δ=0.00050)
Como Δ=|x₃−x₂|=0.00050≤0.01, paramos. A raiz aproximada é x≈2.00000.
Passo 4
Para f₂, derivada f₂’(x)=4x³−6x+1 no entorno de x≈1.8 varia entre ≈5.5 e ≈21, então escolhemos λ₂=0.05 garantindo |1−λ₂f₂’(x)|<1. Usamos
ii) xₙ₊₁ = xₙ − 0.05·f₂(xₙ).
ii) xₙ₊₁ = xₙ − 0.05·f₂(xₙ).
Passo 5
Iteração para f₂ com 5 casas decimais:
x₀=1.50000
f₂(x₀)=−3.18750 → x₁=1.50000+0.15938=1.65938 (Δ=0.15938)
f₂(x₁)=−2.01462 → x₂=1.65938+0.10073=1.76011 (Δ=0.10073)
f₂(x₂)=−0.94048 → x₃=1.76011+0.04702=1.80713 (Δ=0.04702)
f₂(x₃)=−0.31956 → x₄=1.80713+0.01598=1.82311 (Δ=0.01598)
f₂(x₄)=−0.09178 → x₅=1.82311+0.00459=1.82770 (Δ=0.00459)
Como Δ=0.00459≤0.01, paramos. A raiz aproximada é x≈1.82770.
f₂(x₀)=−3.18750 → x₁=1.50000+0.15938=1.65938 (Δ=0.15938)
f₂(x₁)=−2.01462 → x₂=1.65938+0.10073=1.76011 (Δ=0.10073)
f₂(x₂)=−0.94048 → x₃=1.76011+0.04702=1.80713 (Δ=0.04702)
f₂(x₃)=−0.31956 → x₄=1.80713+0.01598=1.82311 (Δ=0.01598)
f₂(x₄)=−0.09178 → x₅=1.82311+0.00459=1.82770 (Δ=0.00459)
Como Δ=0.00459≤0.01, paramos. A raiz aproximada é x≈1.82770.
Resposta
Para f₁(x)=x²+x−6: x≈2.00000
Para f₂(x)=x⁴−3x²+x−3: x≈1.82770
Para f₂(x)=x⁴−3x²+x−3: x≈1.82770