(Singh,“Introduction to Food Engineering”, p. 413) Durante processos de preservação de alimentos, um agente externo é usado para reduzir a população de microorganismos presentes no alimento, por exemplo, E. coli, Salmonella, Listeria monocytogenes. Essa redução segue um padrão denominado curva de sobrevivência microbiana. O modelo básico para descrever curvas de sobrevivência quando populações microbianas são expostas a temperaturas elevadas é expresso matematicamente por:
N=N0 e^-2.303D t
onde N0 é a população inicial, N é a população final e D é o tempo necessário para uma redução de 90 % na população microbiana, denominado tempo de redução decimal.
Considere a tabela:
Tempo c|cccc Tempo $(min )$ & 0 & 4 & 8 & 12 hline NumSobreviventes & $10^6$ & $1.1 times 10^5$ & $1.2 times 10^4$ & $1.2 times 10^3$ 0 4 8 12
Num.Sobreviventes D
Determine o valor de para o microorganismo em questão.

Passo 1

O enunciado pede para encontrar o tempo de redução decimal D de uma curva de sobrevivência microbiana que segue o modelo N = N0 e^-tfrac2.303D t. Temos os valores de N0 e N em três tempos, e vamos precisar linearizar esse modelo usando logaritmo decimal para isolar D.

Passo 2

Aplicamos logaritmo base 10 em ambos os lados do modelo:
log10N = log10N0 - tD
Dessa relação, isolamos D:
$$
D = \frac{t}{\log_{10}(N_{0}) - \log_{10}(N)} = \frac{t}{\log_{10}\bigl(\tfrac{N_{0}}{N}\bigr)}$$
Agora calculamos D = tlog10(N0) - log10(N) = tlog10l(tfracN0Nr) para cada par D:

Passo 3

Para t=4 min e N=1,1times10^5:
$$
D_{4} = \frac{4}{\log_{10}(10{6}/1{,}1\times10{5})} = \frac{4}{\log_{10}(9{,}09)} \approx 4{,}17\ min$$
Para D4 = 4log10(10^6/1,1times10^5) = 4log10(9,09) approx 4,17 min e t=8 min:
$$
D_{8} = \frac{8}{\log_{10}(10{6}/1{,}2\times10{4})} = \frac{8}{\log_{10}(83{,}33)} \approx 4{,}17\ min$$
Para N=1,2times10^4 e D8 = 8log10(10^6/1,2times10^4) = 8log10(83,33) approx 4,17 min:
$$
D_{12} = \frac{12}{\log_{10}(10{6}/1{,}2\times10{3})} = \frac{12}{\log_{10}(833{,}33)} \approx 4{,}11\ min$$
Como os valores de t=12 min são muito próximos, fazemos a média para obter o valor final. A média é:
$$
D_{média} = \frac{4{,}17 + 4{,}17 + 4{,}11}{3} \approx 4{,}15\ min$$

Resposta

D \approx 4,15 minutos

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