(Singh,“Introduction to Food Engineering”, p. 417) Existem situações em que a curva de sobrevivência não é uma relação de ordem 1, como a do Exercício 9. Neste caso, recomenda-se a utilização do seguinte modelo:
log N0-log N=[tD^prime]^n
onde N0 é a população inicial, N é a população final e D^prime é um parâmetro similar ao tempo de redução decimal.
A tabela a seguir apresenta os dados de uma curva de sobrevivência obtidos durante o processamento de um alimento a ultra-alta pressão (300 MPa):
Tempo c|ccccccccccc Tempo $(s)$ & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 16 & 24 hline NumSobreviventes & 1000 & 100 & 31 & 20 & 30 & 10 & 6 & 6 & 5 & 2 & 1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 16 24
Num.Sobreviventes 1000 100 31 20 30 10 6 6 5 2 1
Determine os parâmetros da curva de sobrevivência, D^prime e n.
Sugestão: Para linearizar a equação, aplique o logaritmo aos dois lados da equação, obtendo t=0. Cuidado com o valor inicial .

Passo 1

O exercício trata de ajustar uma curva de sobrevivência que não segue cinética de ordem 1 ao modelo
log N0-log N=l[tfractD'r]^n
onde queremos encontrar os parâmetros D' e n. Vamos linearizar esse modelo para usar regressão linear e estimar esses parâmetros.

Passo 2

Primeiro, note que em t=0 temos N=N0, então log(N0/N)=0 e log[log(N0/N)] é indefinido. Portanto, descartamos o ponto t=0 e usamos N0=1000 como referência. Para cada tempo t>0, calculamos:
  • x=log t
  • y=logl[log(N0/N)r]
    Os valores resultantes são:
c|c|c t & x=log t & y=logl[log(1000/N)r] hline 1 & 0,0000 & 0,0000 2 & 0,3010 & 0,1782 3 & 0,4771 & 0,2304 4 & 0,6021 & 0,1826 5 & 0,6990 & 0,3010 6 & 0,7782 & 0,3465 7 & 0,8451 & 0,3465 8 & 0,9031 & 0,3625 16& 1,2041 & 0,4310 24& 1,3802 & 0,4771

Passo 3

Agora ajustamos a reta
y = n,x + b
por mínimos quadrados. Usamos as fórmulas:
n = Nsum xy - (sum x)(sum y)Nsum x^2 - (sum x)^2, b = sum y - nsum xN,
sendo N=10. Calculando os somatórios a partir da tabela ( sum x=7,1899, sum y=2,8558, sum xy=2,5514, sum x^2=6,6595), obtemos:
n approx 0,3342, b approx 0,0452

Passo 4

Por fim, relacionamos o coeficiente linear com D': da linearização temos
logl[log(N0/N)r] = nl(log t - log D'r) = n,log t - n,log D'
Logo, b=-n,log D' e
log D' = -bn, D' = 10^-bn approx 10^-0,0452/0,3342 approx 0,73,s

Resposta

Os parâmetros ajustados são aproximadamente
n approx 0,33, D' approx 0,73,s

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