(Singh,“Introduction to Food Engineering”, p. 153) Existe considerável evidência que a influência da temperatura sobre a viscosidade para um alimento líquido pode ser descrita por uma equação do tipo Arrhenius (como ela está relacionada com a equação de Andrade?):
ln mu=ln BA+EaRg TA
onde BA é a constante de Arrhenius, Ea é uma constante de energia de ativação e Rg é a constante dos gases. Vitali e Rao (1984) mediram a viscosidade do suco de laranja concentrado em 8 temperaturas diferentes (dadas em ^circ C ), cujos valores estão tabulados a seguir:
c|cccccccc $TA$ & -18.8 & -14.5 & -9.9 & -5.4 & 0.8 & 9.5 & 19.4 & 29.2 hline$mu$ & 8.37 & 5.32 & 3.38 & 2.22 & 1.56 & 0.77 & 0.46 & 0.28 -18.8 -14.5 -9.9 -5.4 0.8 9.5 19.4 29.2
BA 8.37 5.32 3.38 2.22 1.56 0.77 0.46 0.28
A partir desses dados, determine os parâmetros Ea e 5^circ C e estime a viscosidade a Rg=1.98717 cal /(mol K). Não esqueça de trabalhar com graus Kelvin e use .

Passo 1

O enunciado pede para ajustar a dependência da viscosidade de um suco de laranja concentrado com a temperatura segundo uma lei de Arrhenius, dada por lnmu = ln BA + dfracEaRg,T. O conteúdo é regressão linear ( y = mx + b) aplicando-se x = 1/T ( T em kelvin) e y = lnmu. Vamos precisar converter as temperaturas para kelvin, calcular lnmu e 1/T, fazer regressão para achar o coeficiente angular (que dá Ea/Rg) e o intercepto (que dá ln BA), e então estimar mu a 5^circC.

Passo 2

Converter cada temperatura de graus Celsius para kelvin usando TK = T!C + 273.15, e para cada par (TK,,mu) calcular
xi = 1TK,
yi = lnmu
Listando os oito pares de valores.

Passo 3

Calcular as médias
bar x = 1nsumi=1^n xi,
bar y = 1nsumi=1^n yi,
e em seguida as somas de quadrados
Sxx = sumi=1^n (xi - bar x)^2,
Sxy = sumi=1^n (xi - bar x)(yi - bar y)
O coeficiente angular da reta é
m = SxySxx,
o intercepto é
b = bar y - m,bar x

Passo 4

Relacionar o coeficiente angular e o intercepto com os parâmetros de Arrhenius:
m = EaRg Longrightarrow Ea = m,Rg,
b = ln BA Longrightarrow BA = e^b
Usando Rg = 1.98717,cal/(mol,K) obtém-se numericamente Eaapprox1.08times10^4,cal/mol e BAapprox4.2times10^-9.

Passo 5

Estimar a viscosidade a 5^circC ( T = 278.15,K) pela equação ajustada:
lnmu(278.15) = ln BA + EaRg,times278.15,
calcula-se mu(278.15)approx1.19 (mesma unidade dos dados originais).

Resposta

BA approx 4.2times10^-9, Ea approx 1.08times10^4,cal/mol, mu(5^circC) approx 1.19.

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