Dada a equação
Defina um intervalo que contenha a maior raiz positiva e prove que essa raiz de fato existe e é única.
Defina um intervalo que contenha a maior raiz positiva e prove que essa raiz de fato existe e é única.
Passo 1
Beleza, aí vai o resumo: temos que estudar a equação
O conteúdo é análise de funções reais: vamos usar continuidade, Teorema do Valor Intermediário (para garantir que existe raiz), derivada e monotonicidade (para mostrar que só há uma raiz positiva). Para isso precisamos lembrar que uma função polinomial é contínua em todo
Passo 2
Definimos
1) Avaliamos em
- Avaliamos em
:
Como
e
e
é contínua, pelo Teorema do Valor Intermediário existe pelo menos uma raiz
tal que
.
Passo 3
Agora, para ver que só tem essa uma raiz positiva, examinamos a derivada:
As raízes de
Chamamos de
o ponto de mínimo local em
Logo
- Em
- Em
Isso prova que existe exatamente uma raiz positiva e que ela cai no intervalo onde fizemos o “teorema do valor intermediário”.
Resposta
A maior (e única) raiz positiva da equação
está em