Dada a equação x^3-(1+mu) x-mu=0
Defina um intervalo que contenha a maior raiz positiva e prove que essa raiz de fato existe e é única.

Passo 1

Beleza, aí vai o resumo: temos que estudar a equação
x^3 - (1+mu),x - mu = 0
O conteúdo é análise de funções reais: vamos usar continuidade, Teorema do Valor Intermediário (para garantir que existe raiz), derivada e monotonicidade (para mostrar que só há uma raiz positiva). Para isso precisamos lembrar que uma função polinomial é contínua em todo R e que, se em dois pontos ela muda de sinal, em algum ponto intermediário ela zera. Também vamos usar que o sinal da derivada conta onde a função é crescente ou decrescente.

Passo 2

Definimos
f(x)=x^3-(1+mu)x-mu
1) Avaliamos em x=1:
f(1)=1-(1+mu)cdot1-mu=1-1-mu-mu=-2mu<0(mu>0)
  1. Avaliamos em x=1+mu:
f(1+mu)&=(1+mu)^3-(1+mu)(1+mu)-mu &=(1+3mu+3mu^2+mu^3)-l((1+mu)^2r)-mu &=(1+3mu+3mu^2+mu^3)-(1+2mu+mu^2)-mu &=mu^3+2mu^2>0
Como f(1)<0 e f(1+mu)>0 e f é contínua, pelo Teorema do Valor Intermediário existe pelo menos uma raiz alphain(1,,1+mu) tal que f(alpha)=0.

Passo 3

Agora, para ver que só tem essa uma raiz positiva, examinamos a derivada:
f'(x)=3x^2-(1+mu)
As raízes de f' são
x=pmraiztfrac1+mu3,
Chamamos de
x0=raiztfrac1+mu3>0
o ponto de mínimo local em x>0. Vamos ver o valor de f ali:
f(x0)&=x0^3-(1+mu)x0-mu =l(tfrac1+mu3r)^3/2-(1+mu)l(tfrac1+mu3r)^1/2-mu &=(1+mu)^3/23raiz3-(1+mu)^3/2raiz3-mu =(1+mu)^3/2l(tfrac13raiz3-tfrac1raiz3r)-mu &=(1+mu)^3/2l(-tfrac23raiz3r)-mu<0
Logo f(1)<0 e f(x0)<0.
- Em (1,x0) temos f'(x)<=0, então f não sobe e permanece abaixo de zero: sem raiz ali.
- Em (x0,infty) temos f'(x)>=0, ou seja, f é crescente e, como f(x0)<0 e para xto+infty, f(x)to+infty, só pode cruzar o eixo uma vez.
Isso prova que existe exatamente uma raiz positiva e que ela cai no intervalo onde fizemos o “teorema do valor intermediário”.

Resposta

A maior (e única) raiz positiva da equação
x^3-(1+mu)x-mu=0
está em
(1,;1+mu),

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