Em uma fábrica dispõe-se de 3 máquinas para produção de 4 produtos ( p1, p2, p3 e p4). A máquina m1 produz 6 toneladas por hora, sendo 3 de p1, 0 de p2, 1 de p3 e 2 de p4, a máquina m2 produz 6 toneladas por hora, sendo 2 de p1, 1 de p2, 2 de p3 e 1 de p4, enquanto que a máquina m3 produz 5 toneladas por hora, sendo 1 de p1, 3 de p2, 0 de p3 e 1 de p4. A fábrica recebe um pedido de 11 toneladas de p1, 7.9 de p2, 6.4 de p3 e 9.3 de p4. Determine quantas horas deve ser utilizada cada máquina de maneira que a soma dos quadrados das diferenças entre as quantidades pedidas e produzidas de cada produto seja mínima.

Passo 1

Beleza, olha só o que tá rolando: temos 3 máquinas (m₁, m₂ e m₃) que produzem 4 produtos (p₁, p₂, p₃ e p₄) a certas taxas. A fábrica recebeu um pedido de quantidades específicas de cada produto e a ideia é escolher quantas horas usar cada máquina pra que a produção chegue o mais pertinho possível do pedido. O critério de “pertinho” aqui é minimizar a soma dos quadrados das diferenças (erro ao quadrado) entre o que foi pedido e o que a gente produz.
Matéria envolvida: mínimos quadrados (least squares) e sistema de equações lineares.
O que vamos precisar:
  • Definir variáveis de tempo de cada máquina (x₁, x₂, x₃).
  • Montar a matriz de produção A e o vetor de pedido b.
  • Usar a condição de mínimos quadrados via equações normais: A^T A,x = A^T b

Passo 2

Primeiro, definimos:
x₁ = horas de uso da máquina m₁
x₂ = horas de uso da máquina m₂
x₃ = horas de uso da máquina m₃
Agora, montamos a matriz A (4 linhas, uma por produto; 3 colunas, uma por máquina) com as taxas dadas (toneladas/hora):
A = 3 & 2 & 1 % p1 0 & 1 & 3 % p2 1 & 2 & 0 % p3 2 & 1 & 1 % p4 ,
e o vetor de pedido b:
;b = 11 7.9 6.4 9.3
A produção efetiva será , e o erro para cada produto é .

Passo 3

A teoria dos mínimos quadrados diz que, pra minimizar
|A,x - b|^2 = sumi=1^4l((A,x)i - bir)^2,
a gente resolve as chamadas equações normais:
boxedA^T A,x = A^T b
Isso vem de igualar a derivada da função de erro a zero.

Passo 4

Vamos calcular A^T A = 14 & 10 & 5 10 & 10 & 6 5 & 6 & 11 , (3×3) e A^T b = 58 52 44 , (3×1).
  1. :
onde cada entrada é a soma dos produtos das colunas i e j de A.
  1. :
cada componente é a soma dos produtos da coluna correspondente de A pelos valores de b.

Passo 5

Agora montamos o sistema:
[
14 & 10 & 5 10 & 10 & 6 5 & 6 & 11 x1x2x3 = 585244

.
]
A gente resolve esse sistema passo a passo (eliminação de Gauss ou outro método).

Passo 6

Fazendo a eliminação de forma direta, chega-se a:
x₁ = 2, x₂ = 2, x₃ = 2.
Ou seja, usar cada máquina por 2 horas.

Resposta

x₁ = 2 horas, x₂ = 2 horas e x₃ = 2 horas.

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