Em uma fábrica dispõe-se de 3 máquinas para produção de 4 produtos ( e ). A máquina produz 6 toneladas por hora, sendo 3 de de de e 2 de , a máquina produz 6 toneladas por hora, sendo 2 de de de e 1 de , enquanto que a máquina produz 5 toneladas por hora, sendo 1 de de de e 1 de . A fábrica recebe um pedido de 11 toneladas de de de e de . Determine quantas horas deve ser utilizada cada máquina de maneira que a soma dos quadrados das diferenças entre as quantidades pedidas e produzidas de cada produto seja mínima.
Passo 1
Beleza, olha só o que tá rolando: temos 3 máquinas (m₁, m₂ e m₃) que produzem 4 produtos (p₁, p₂, p₃ e p₄) a certas taxas. A fábrica recebeu um pedido de quantidades específicas de cada produto e a ideia é escolher quantas horas usar cada máquina pra que a produção chegue o mais pertinho possível do pedido. O critério de “pertinho” aqui é minimizar a soma dos quadrados das diferenças (erro ao quadrado) entre o que foi pedido e o que a gente produz.
Matéria envolvida: mínimos quadrados (least squares) e sistema de equações lineares.
O que vamos precisar:
Definir variáveis de tempo de cada máquina (x₁, x₂, x₃).
Montar a matriz de produção A e o vetor de pedido b.
Usar a condição de mínimos quadrados via equações normais:
Passo 2
Primeiro, definimos:
x₁ = horas de uso da máquina m₁
x₂ = horas de uso da máquina m₂
x₃ = horas de uso da máquina m₃
Agora, montamos a matriz A (4 linhas, uma por produto; 3 colunas, uma por máquina) com as taxas dadas (toneladas/hora):
e o vetor de pedido b:
;b = 11 7.9 6.4 9.3
A produção efetiva será , e o erro para cada produto é .
Passo 3
A teoria dos mínimos quadrados diz que, pra minimizar
|A,x - b|^2 = sumi=1^4l((A,x)i - bir)^2,
a gente resolve as chamadas equações normais:
boxedA^T A,x = A^T b
Isso vem de igualar a derivada da função de erro a zero.