Dada a função
encontre um intervalo
onde
e aplique 5 iterações do método da Falsa Posição, mostrando o
aproximado a cada iteração.
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede duas coisas: encontrar um intervalo
tal que
(ou seja, um intervalo que contenha uma raiz por mudança de sinal) e aplicar 5 iterações do método da Falsa Posição, mostrando o
aproximado a cada iteração.
Informações fornecidas que vamos usar explicitamente:
Informações fornecidas que vamos usar explicitamente:
precisamos de um
com
e depois executar 5 iterações do método da Falsa Posição (Regula Falsi).
Passo 2
Escolhendo o intervalo: calculemos
em alguns pontos simples para encontrar mudança de sinal.
Calculemos
:
Calculemos
:
Como
e
, o produto é negativo:
logo um intervalo válido é
Ótimo — temos um intervalo inicial que contém uma raiz.
Passo 3
O método da Falsa Posição (Regula Falsi) usa interpolação linear entre os pontos
e
para estimar a raiz. A ideia: a reta que passa por esses dois pontos corta o eixo
em um ponto
; esse
é a nossa aproximação.
A fórmula (obtida por interpolação linear) é
Aqui:
-
e são os extremos do intervalo atual com , -
e são os valores da função nesses extremos, -
é a interseção da reta com o eixo .
Depois de calcular
avaliamos
. Se
encontramos a raiz exata (raríssimo numericamente). Caso contrário, substituímos o extremidade cujo valor tem o mesmo sinal de
por
, mantendo o outro extremo. Assim o novo intervalo ainda contém a raiz. Repetimos o processo.
Vou aplicar exatamente essa fórmula 5 vezes, mostrando as contas e as decisões de atualização do intervalo. Vou arredondar os resultados para 6 casas decimais quando for adequado, mas mostrando os passos numéricos para você poder seguir na prova.
Passo 4
Iteração 1 (intervalo inicial
)
Dados:
Aplicando a fórmula
Calculemos numericamente (cada passo em números):
Avaliação:
Decisão:
e
, portanto o novo intervalo que preserva a raiz é
.
Passo 5
Iteração 2 (intervalo
)
Dados:
Aplicando a fórmula
Cálculos numéricos:
Avaliação:
Decisão:
,
então novo intervalo
.
Passo 6
Iteração 3 (intervalo
)
Dados:
Aplicando a fórmula
Cálculos numéricos:
Avaliação:
Decisão:
e
, então o novo intervalo é
.
Passo 7
Iteração 4 (intervalo
)
Dados:
Aplicando a fórmula
Cálculos numéricos:
Avaliação:
Decisão:
é muito próximo de zero (positivo pequeno). Mantemos o extremo com sinal oposto: como
e
, substituímos
por
ou, dependendo da regra de atualização (aqui usamos sempre substituir o extremo com mesmo sinal), o novo intervalo torna-se
. Note que já estamos muito próximos da raiz.
Passo 8
Iteração 5 (intervalo
)
Dados:
Aplicando a fórmula
Cálculos numéricos:
Avaliação final (para confirmar):
Observação pedagógica: o método da Falsa Posição frequentemente converge rapidamente nos primeiros passos para funções bem comportadas. Aqui já na 4ª-5ª iteração obtemos convergência em torno de
. Em provas, se você precisar só de 4–5 iterações, vale usar 6 casas decimais nos cálculos intermediários como eu fiz para manter precisão.
Resposta
Iteração 1:
Iteração 2:
Iteração 3:
Iteração 4:
Iteração 5:
Iteração 2:
Iteração 3:
Iteração 4:
Iteração 5: