Seja a função f(x) definida conforme abaixo
c|cccc $x$ & 0.2 & 0.4 & 0.6 & 0.8 hline$f(x)$ & -6.3 & 8.2 & 3.4 & 8.4 0.2 0.4 0.6 0.8
f(x) -6.3 8.2 3.4 8.4
Determine o polinômio interpolador de f(0.47) nos pontos dados, usando a fórmula interpolatória de Lagrange para pontos equidistantes. Avalie .

Passo 1

Temos quatro pontos equidistantes (h = 0.2) e queremos o polinômio interpolador de grau 3 usando Lagrange e depois avaliar em x = 0.47.

Passo 2

Denotando x₀ = 0.2, x₁ = 0.4, x₂ = 0.6, x₃ = 0.8 e f₀ = −6.3, f₁ = 8.2, f₂ = 3.4, f₃ = 8.4, a base de Lagrange é
Li(x)=prodj=0,jneq i^3x-xjxi-xj,

Passo 3

Calculamos os denominadores e obtemos explicitamente:
L0(x)=(x-0.4)(x-0.6)(x-0.8)(0.2-0.4)(0.2-0.6)(0.2-0.8)=(x-0.4)(x-0.6)(x-0.8)-0.048,
L1(x)=(x-0.2)(x-0.6)(x-0.8)(0.4-0.2)(0.4-0.6)(0.4-0.8)=(x-0.2)(x-0.6)(x-0.8)0.016,
L2(x)=(x-0.2)(x-0.4)(x-0.8)(0.6-0.2)(0.6-0.4)(0.6-0.8)=(x-0.2)(x-0.4)(x-0.8)-0.016,
L3(x)=(x-0.2)(x-0.4)(x-0.6)(0.8-0.2)(0.8-0.4)(0.8-0.6)=(x-0.2)(x-0.4)(x-0.6)0.048

Passo 4

O polinômio interpolador em Lagrange fica:
P(x)=f0L0(x)+f1L1(x)+f2L2(x)+f3L3(x),
ou seja
P(x)=-6.3,L0(x)+8.2,L1(x)+3.4,L2(x)+8.4,L3(x)

Passo 5

Para avaliar em x=0.47, calculamos numericamente cada L_i(0.47):
L_0(0.47)≈−0.06256,
L_1(0.47)≈0.72394,
L_2(0.47)≈0.38981,
L_3(0.47)≈−0.05119.
Logo
P(0.47)=(-6.3)(-0.06256)+(8.2)(0.72394)+(3.4)(0.38981)+(8.4)(-0.05119)approx7.228

Resposta

f(0.47)approx7.228

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