Determine e^4.2 usando interpolação sobre três pontos, e um limitante superior para o erro.

Passo 1

A gente quer aproximar e^4.2 usando polinômio de Lagrange de grau 2 (interpolação em três pontos) e depois estimar um limite superior para o erro. Vamos escolher três pontos próximos a 4.2, por exemplo x0=4.0, x1=4.1 e x2=4.3.

Passo 2

Calculamos os valores de f(x)=e^x nesses pontos (usando uma calculadora ou tabela):
f(x0)=e^4.0approx54.5982, f(x1)=e^4.1approx60.3403, f(x2)=e^4.3approx73.6998

Passo 3

Montamos as funções base de Lagrange Li(x):
L0(x)=(x-4.1)(x-4.3)(4.0-4.1)(4.0-4.3), L1(x)=(x-4.0)(x-4.3)(4.1-4.0)(4.1-4.3), L2(x)=(x-4.0)(x-4.1)(4.3-4.0)(4.3-4.1)

Passo 4

Avaliamos cada Li em x=4.2:
L0(4.2)=-tfrac13, L1(4.2)=1, L2(4.2)=tfrac13
Assim o polinômio interpolador em 4.2 é
P2(4.2)=sumi=0^2 f(xi),Li(4.2) =54.5982cdot(-tfrac13)+60.3403cdot1+73.6998cdot(tfrac13) approx66.7075

Passo 5

Para estimar o erro usamos a forma do resto de Lagrange de grau 2:
R2(4.2)=f^(3)(xi)3!(4.2-4.0)(4.2-4.1)(4.2-4.3),
onde xi está entre 4.0 e 4.3 e f^(3)(x)=e^x. Como e^x cresce, e^xi<= e^4.3. Logo
|R2(4.2)|<=e^4.36,|0.2cdot0.1cdot(-0.1)| =e^4.36times0.002 approx0.0246

Resposta

e^4.2approx66.7075 com limite superior para o erro de aproximadamente 0.0246.

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