Dada a tabela:
c|cccccc $x$ & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 hline$f(x)$ & 0.13 & 0.19 & 0.27 & 0.38 & 0.51 & 0.67 2 3 4 5 6 7
f(4.5) 0.13 0.19 0.27 0.38 0.51 0.67
(a) Determinar o polinômio de interpolação de grau adequado;
(b) Calcular f[x0, x1, ldots, xn, xn+1]=f^(n+1)(c)(n+1)!, c in(x0, xn+1) ;
© Dar uma estimativa para o erro de truncamento sabendo que

Passo 1

Temos uma tabela com os pares (x,f(x)) e queremos achar o polinômio interpolador, avaliá-lo em x=4.5 e estimar o erro pela fórmula do resto de Lagrange. Vamos usar diferenças finitas (ou divididas) e a forma de Newton.

Passo 2

Para escolher o grau, calculamos as primeiras diferenças Δf: 0.06, 0.08, 0.11, 0.13, 0.16; e as segundas diferenças Δ²f: 0.02, 0.03, 0.02, 0.03. Como elas são aproximadamente constantes, adotamos polinômio de grau 2.

Passo 3

Construímos as diferenças divididas de ordem 0, 1 e 2 e montamos o polinômio de Newton. Usando, por exemplo, os pontos x₀=2, x₁=4, x₂=6, obtemos após simplificar:
p(x)=0.0125,x^2-0.005,x+0.09

Passo 4

Para calcular f(4.5), basta substituir na fórmula:
p(4.5)=0.0125cdot(4.5)^2-0.005cdot4.5+0.09approx0.320625

Passo 5

Para estimar o erro, usamos o resto de Lagrange de ordem 2:
R2(4.5)=f[x0,x1,x2,x3],(4.5- x0)(4.5- x1)(4.5- x2)
onde f[x_0,…,x_3]≈0.001667 (terceira diferença dividida) e (4.5-2)(4.5-3)(4.5-4)=2.5·1.5·0.5=1.875. Assim
|R2(4.5)|≈0.001667times1.875≈0.003125

Passo 6

Concluímos que o polinômio de grau 2 atende bem aos dados, f(4.5)≈0.3206 e a estimativa de erro é da ordem de 3×10⁻³.

Resposta

Polinômio: p(x)=0.0125,x^2-0.005,x+0.09
f(4.5)≈0.3206
Estimativa do erro: |R₂(4.5)|≈0.0031

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