Dada a tabela:
2
3
4
5
6
7
0.13
0.19
0.27
0.38
0.51
0.67
(a) Determinar o polinômio de interpolação de grau adequado;
(b) Calcular
;
© Dar uma estimativa para o erro de truncamento sabendo que
|
2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 |
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0.13 | 0.19 | 0.27 | 0.38 | 0.51 | 0.67 |
(b) Calcular
© Dar uma estimativa para o erro de truncamento sabendo que
Passo 1
Temos uma tabela com os pares (x,f(x)) e queremos achar o polinômio interpolador, avaliá-lo em x=4.5 e estimar o erro pela fórmula do resto de Lagrange. Vamos usar diferenças finitas (ou divididas) e a forma de Newton.
Passo 2
Para escolher o grau, calculamos as primeiras diferenças Δf: 0.06, 0.08, 0.11, 0.13, 0.16; e as segundas diferenças Δ²f: 0.02, 0.03, 0.02, 0.03. Como elas são aproximadamente constantes, adotamos polinômio de grau 2.
Passo 3
Construímos as diferenças divididas de ordem 0, 1 e 2 e montamos o polinômio de Newton. Usando, por exemplo, os pontos x₀=2, x₁=4, x₂=6, obtemos após simplificar:
Passo 4
Para calcular f(4.5), basta substituir na fórmula:
Passo 5
Para estimar o erro, usamos o resto de Lagrange de ordem 2:
onde f[x_0,…,x_3]≈0.001667 (terceira diferença dividida) e (4.5-2)(4.5-3)(4.5-4)=2.5·1.5·0.5=1.875. Assim
Passo 6
Concluímos que o polinômio de grau 2 atende bem aos dados, f(4.5)≈0.3206 e a estimativa de erro é da ordem de 3×10⁻³.
Resposta
Polinômio:
f(4.5)≈0.3206
Estimativa do erro: |R₂(4.5)|≈0.0031
f(4.5)≈0.3206
Estimativa do erro: |R₂(4.5)|≈0.0031