Sabe-se que se
é uma raiz dupla de
então o Método de NewtonRaphson não converge quadraticamente. Mostre que se
, mas todas as outras condições de convergência estão satisfeitas, então a iteração:
converge quadraticamente.
Passo 1
A questão é sobre o Método de Newton–Raphson modificado para raiz dupla: sabemos que se
é raiz dupla de
, então
,
e
. Queremos mostrar que, sob essas hipóteses e supondo
suficientemente suave, a iteração
converge com ordem 2 (quadraticamente).
Passo 2
Definimos
e primeiro verificamos que
é ponto fixo: como
, temos
Passo 3
Para aplicar o teorema de convergência local por ponto fixo, precisamos checar que
Calculamos em geral, usando regra do quociente,
$$
\varphi’(x)=1-2\frac{f’(x)f’(x)-f(x)f’’(x)}{\bigl(f’(x)\bigr)^2}
= -1+2\frac{f(x)f’’(x)}{(f’(x))^2}.
= -1+2\frac{f(x)f’’(x)}{(f’(x))^2}.
$$
Passo 4
Em
a expressão é do tipo
, então usamos a expansão de Taylor perto de
:
e
. Substituindo em
obtemos que o numerador e o denominador são ambos
, logo o quociente tende a 1 quando
. Assim
Passo 5
Como
e
, o teorema de convergência para iterações de ponto fixo garante que o erro satisfaz
portanto a convergência é quadrática.
Resposta
A iteração converge quadraticamente, pois no ponto fixo
vale
e
, garantindo ordem de convergência 2.