Sabe-se que se x=xi é uma raiz dupla de f(x) então o Método de NewtonRaphson não converge quadraticamente. Mostre que se f^prime(xi)=0, mas todas as outras condições de convergência estão satisfeitas, então a iteração:
xn+1=varphi(xn)=xn-2 f(xn)f^prime(xn)
converge quadraticamente.

Passo 1

A questão é sobre o Método de Newton–Raphson modificado para raiz dupla: sabemos que se x=xi é raiz dupla de f, então f(xi)=0, f'(xi)=0 e f''(xi)neq0. Queremos mostrar que, sob essas hipóteses e supondo f suficientemente suave, a iteração
xn+1=varphi(xn)=xn-2f(xn)f'(xn)
converge com ordem 2 (quadraticamente).

Passo 2

Definimos
varphi(x)=x-2f(x)f'(x)
e primeiro verificamos que xi é ponto fixo: como f(xi)=0, temos
varphi(xi)=xi-2cdot0f'(xi)=xi

Passo 3

Para aplicar o teorema de convergência local por ponto fixo, precisamos checar que
varphi'(xi)=0
Calculamos em geral, usando regra do quociente,
$$
\varphi’(x)=1-2\frac{f’(x)f’(x)-f(x)f’’(x)}{\bigl(f’(x)\bigr)^2}
= -1+2\frac{f(x)f’’(x)}{(f’(x))^2}.
$$

Passo 4

Em x=xi a expressão é do tipo 0/0, então usamos a expansão de Taylor perto de xi:
f(x)=tfrac12f''(xi)(x-xi)^2+O((x-xi)^3),
f'(x)=f''(xi)(x-xi)+O((x-xi)^2),
e f''(x)to f''(xi). Substituindo em
2f(x)f''(x)(f'(x))^2
obtemos que o numerador e o denominador são ambos f''(xi)^2(x-xi)^2+O((x-xi)^3), logo o quociente tende a 1 quando xtoxi. Assim
varphi'(xi)=-1+1=0

Passo 5

Como varphi(xi)=xi e varphi'(xi)=0, o teorema de convergência para iterações de ponto fixo garante que o erro satisfaz
en+1=varphi'(xi),en+O(en^2)=O(en^2),
portanto a convergência é quadrática.

Resposta

A iteração converge quadraticamente, pois no ponto fixo xi vale varphi(xi)=xi e varphi'(xi)=0, garantindo ordem de convergência 2.

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