Seja
uma raiz de
, tal que
e
. Mostre que neste caso o Método de Newton-Raphson tem convergência cúbica.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, se \f’(\xi) \neq 0 e \f’’(\xi)=0\, então o Método de Newton-Raphson converge com ordem 3 (cúbica). O assunto é análise de convergência local de métodos iterativos para achar raízes, e vamos precisar de expansão de Taylor de f em torno de \xi e da fórmula iterativa de Newton.
Passo 2
Vamos chamar o erro na iteração n de \e_n = x_n - \xi e expandir f em torno de \xi usando Taylor até ordem 3. Como f(\xi)=0, f’’(\xi)=0 e f’(\xi) \neq 0, temos:
Substituindo f’’(\xi)=0, fica:
Passo 3
Agora expandimos f’ em torno de \xi até ordem 2:
Como f’’(\xi)=0, temos:
Passo 4
Aplicando a fórmula de Newton-Raphson:
definimos o novo erro \e_{n+1}=x_{n+1}-\xi e substituímos as séries de f e f’. Fazendo a divisão de séries (usando \frac{1}{A+D e_n2}=\frac{1}{A}-\frac{D}{A2}e_n^2+\ldots) encontramos que os termos lineares em e_n se cancelam e sobra um termo proporcional a e_n^3.
O resultado final da expansão é
O resultado final da expansão é
Passo 5
Isso mostra que o erro na próxima iteração é da ordem de e_n^3, ou seja, a convergência é de ordem 3 (cúbica).
Resposta
\displaystyle e_{n+1}=\frac{f’’’(\xi)}{3f’(\xi)}\,e_n3+O(e_n4), logo o Método de Newton-Raphson converge cubicamente.