Dada a tabela para a função
.
x
0.8
0.9
1.0
1.1
1.2
1.3
0.6967067
0.62161
0.5403023
0.4535961
0.3623678
0.2674988
a) Obter por Newton, o polinômio de grau 3 para estimar
. Escolher o conjunto de pontos adequados.
b) Calcular o erro exato.
c) Calcular o limitante superior e confirmar o erro calculado no item anterior.
x | 0.8 | 0.9 | 1.0 | 1.1 | 1.2 | 1.3 |
|
0.6967067 | 0.62161 | 0.5403023 | 0.4535961 | 0.3623678 | 0.2674988 |
b) Calcular o erro exato.
c) Calcular o limitante superior e confirmar o erro calculado no item anterior.
Passo 1
Resumo do enunciado: queremos aproximar
usando interpolação de Newton de grau 3 com pontos tabelados de
. Para isso vamos usar diferenças divididas para montar o polinômio e o termo de resto em forma de interpolação para estimar o erro.
Passo 2
Escolha dos pontos: como o ponto alvo
está entre
e
, escolhemos os quatro nós mais próximos e equiespaçados de passo
, ou seja
.
Passo 3
Cálculo das diferenças divididas e polinômio de Newton:
Nós e seus valores:
Primeiras diferenças:
Nós e seus valores:
Primeiras diferenças:
Segundas diferenças:
Terceira diferença:
Logo o polinômio de Newton é
Passo 4
Avaliação em
:
Calculando cada termo:
Calculando cada termo:
Passo 5
Cálculo do erro exato: usando expansão em série ou calculadora, temos
Logo o erro exato é
Passo 6
Cálculo do limitante superior e confirmação: o resto em forma de Newton é
onde
e
. Assim
confirmando que o erro exato
está abaixo desse limitante.