Dada a tabela para a função f(x)=cos x.
x 0.8 0.9 1.0 1.1 1.2 1.3
|c|c|c|c|c|c|c| hline x & 0.8 & 0.9 & 1.0 & 1.1 & 1.2 & 1.3 hline $f(x)$ & 0.6967067 & 0.62161 & 0.5403023 & 0.4535961 & 0.3623678 & 0.2674988 hline 0.6967067 0.62161 0.5403023 0.4535961 0.3623678 0.2674988
a) Obter por Newton, o polinômio de grau 3 para estimar cos (1.04). Escolher o conjunto de pontos adequados.
b) Calcular o erro exato.
c) Calcular o limitante superior e confirmar o erro calculado no item anterior.

Passo 1

Resumo do enunciado: queremos aproximar cos(1.04) usando interpolação de Newton de grau 3 com pontos tabelados de f(x)=cos x. Para isso vamos usar diferenças divididas para montar o polinômio e o termo de resto em forma de interpolação para estimar o erro.

Passo 2

Escolha dos pontos: como o ponto alvo 1.04 está entre 0.9 e 1.1, escolhemos os quatro nós mais próximos e equiespaçados de passo h=0.1, ou seja x0=0.9,,x1=1.0,,x2=1.1,,x3=1.2.

Passo 3

Cálculo das diferenças divididas e polinômio de Newton:
Nós e seus valores:
x0=0.9,,f0=0.62161; x1=1.0,,f1=0.5403023; x2=1.1,,f2=0.4535961; x3=1.2,,f3=0.3623678
Primeiras diferenças:
f[x0,x1]=f1-f00.1=-0.813077, f[x1,x2]=-0.867062, f[x2,x3]=-0.912283
Segundas diferenças:
f[x0,x1,x2]=-0.867062-(-0.813077)0.2=-0.269925, f[x1,x2,x3]=-0.226105
Terceira diferença:
f[x0,x1,x2,x3]=-0.226105-(-0.269925)0.3=0.1460667
Logo o polinômio de Newton é
P3(x)=f[x0]+f[x0,x1](x-x0)+f[x0,x1,x2](x-x0)(x-x1)+f[x0,x1,x2,x3](x-x0)(x-x1)(x-x2)

Passo 4

Avaliação em x=1.04:
P3(1.04)=0.62161-0.813077cdot0.14-0.269925cdot(0.14cdot0.04)+0.1460667cdot(0.14cdot0.04cdot(-0.06))approx0.5062186
Calculando cada termo:

Passo 5

Cálculo do erro exato: usando expansão em série ou calculadora, temos
f(1.04)=cos(1.04)approx0.50622038
Logo o erro exato é
R3(1.04)=f(1.04)-P3(1.04)approx1.78times10^-6

Passo 6

Cálculo do limitante superior e confirmação: o resto em forma de Newton é
R3(x)=f^(4)(xi)4!(x-x0)(x-x1)(x-x2)(x-x3),
onde f^(4)(x)=cos x e |cosxi|<=1. Assim
|R3(1.04)|<=|1.04-0.9|,|1.04-1.0|,|1.04-1.1|,|1.04-1.2|4!=0.14cdot0.04cdot0.06cdot0.1624approx2.24times10^-6,
confirmando que o erro exato 1.78times10^-6 está abaixo desse limitante.

Passo 7

Resposta

P3(1.04)approx0.5062186, erro exato approx1.78times10^-6, limitante superior approx2.24times10^-6.

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