Resolva, no intervalo t=0 a t=1, o problema de valor inicial
d yd t=y-t^2+1, y(0)=0.5
a) usando o Método de Euler com h=0.2
b) usando o Método de Runge-Kutta de ordem 4 com h=0.2;

Passo 1

Temos o PVI y'=y-t^2+1, y(0)=0.5, e queremos aproximar y(t) no intervalo [0,1] usando os métodos de Euler e de Runge–Kutta 4ª ordem com passo h=0.2. Para isso precisamos conhecer a função f(t,y)=y-t^2+1 e aplicar as fórmulas iterativas de cada método.

Passo 2

O método de Euler avança segundo
yn+1=yn+h,f(tn,yn)
Começando em t0=0, y0=0.5 e h=0.2, calculemos sucessivamente:
- f(t0,y0)=0.5-0^2+1=1.5 y1=0.5+0.2cdot1.5=0.8
- f(t1,y1)=0.8-0.2^2+1=1.76 y2=0.8+0.2cdot1.76=1.152
- f(t2,y2)=1.152-0.4^2+1=1.992 y3=1.152+0.2cdot1.992=1.5504
- f(t3,y3)=1.5504-0.6^2+1=2.1904 y4=1.5504+0.2cdot2.1904=1.98848
- f(t4,y4)=1.98848-0.8^2+1=2.34848 y5=1.98848+0.2cdot2.34848=2.458176
Portanto o método de Euler fornece as aproximações em t=0,0.2,0.4,0.6,0.8,1.0 listadas acima.

Passo 3

O método de Runge–Kutta 4ª ordem usa
k1=f(tn,yn), k2=fl(tn+tfrac h2,;yn+tfrac h2k1r),k3=fl(tn+tfrac h2,;yn+tfrac h2k2r), k4=f(tn+h,yn+h k3),yn+1=yn+ h6l(k1+2k2+2k3+k4r)
Repetindo para cada nó com h=0.2 obtemos:
- y1approx0.82929
- y2approx1.21408
- y3approx1.64892
- y4approx2.12720
- y5approx2.64082

Passo 4

Esses valores são as aproximações de y(t) pelos dois métodos nos pontos solicitados.

Resposta

Método de Euler ( h=0.2):\
t: 0 , 0.2 , 0.4 , 0.6 , 0.8 , 1.0\
y: 0.50000 , 0.80000 , 1.15200 , 1.55040 , 1.98848 , 2.458176\
Método de Runge–Kutta 4ª ordem ( h=0.2):\
t: 0 , 0.2 , 0.4 , 0.6 , 0.8 , 1.0\
y: 0.50000 , 0.82929 , 1.21408 , 1.64892 , 2.12720 , 2.64082

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