Resolva, no intervalo x=0 a x=1, o problema de valor inicial
d yd x=(1+x) raizy, y(0)=1
a) analiticamente;
b) usando o Método de Euler com h=0.5 e h=0.25;
c) usando o Método de Heun (sem iteração no corretor) com h=0.5;
d) usando o Método de Runge-Kutta de ordem 4 com h=0.5;
Determine os erros relativos em todos os casos e em todos os passos, em relação à solução analítica.

Passo 1

Enunciado: Temos o PVI dydx=(1+x)raizy, y(0)=1 no intervalo [0,1]. Conteúdo: EDO separável para achar solução exata e métodos numéricos (Euler explícito, Heun sem iteração, Runge–Kutta 4) para aproximar y(x) em pontos, comparando com a solução analítica.

Passo 2

Solução analítica: separamos variáveis e integramos.
integral y^-1/2,dy=integral(1+x),dxAplicando 2raizy=x+tfrac12x^2+C y(0)=1. Logo
2cdot1=CRightarrow C=2

Passo 3

Cálculo dos valores exatos nos pontos:
y(0)=1, y(0.25)=(1+0.125+0.015625)^2=1.30103, y(0.5)=(1+0.25+0.0625)^2=1.72266, y(0.75)=(1+0.375+0.140625)^2=2.29724, y(1)=(1+0.5+0.25)^2=3.06250

Passo 4

Método de Euler explícito: yn+1=yn+h,f(xn,yn). Com h=0.5:
x=0: y0=1.
x=0.5: y1=1+0.5cdot1=1.50000, erro relativo |1.50000-1.72266|/1.72266=0.1293.
x=1.0: y2=1.50000+0.5cdot1.83712=2.41856, erro relativo |2.41856-3.06250|/3.06250=0.2102.

Passo 5

Com h=0.25:
x=0.25: y1=1+0.25cdot1=1.25000, erro 0.0392.
x=0.5: y2=1.25000+0.25cdot1.39754=1.59938, erro 0.0716.
x=0.75: y3=1.59938+0.25cdot1.89699=2.07362, erro 0.0974.
x=1.0: y4=2.07362+0.25cdot2.51890=2.70335, erro 0.1173.

Passo 6

Método de Heun (sem iteração): preditor y^p=yn+h f(xn,yn), corretor yn+1=yn+tfrac h2[f(xn,yn)+f(xn+1,y^p)], com h=0.5:
x=0.5: y^p=1+0.5cdot1=1.50000, y1=1+0.25(1+1.83712)=1.70928, erro 0.0078.
x=1.0: preditor y^p=1.70928+0.5cdot1.95990=2.68923, y2=1.70928+0.25(1.95990+3.27924)=3.01906, erro 0.0142.

Passo 7

Runge–Kutta de ordem 4 com h=0.5: fórmula padrão usando
k1=f(xn,yn), k2=f(xn+tfrac h2,yn+tfrach2k1), k3=f(xn+tfrac h2,yn+tfrach2k2), k4=f(xn+h,yn+h k3),
yn+1=yn+tfrac h6(k1+2k2+2k3+k4).
x=0.5: obtém y1=1.72232, erro 0.00020.
x=1.0: obtém y2=3.06155, erro 0.00031.

Resposta

Solução analítica: y(x)=(1+ x/2+ x2/4)2. Valores exatos e aproximações:
Euler h=0.5: y(0)=1, y(0.5)=1.50000 (erro 12.93%), y(1)=2.41856 (erro 21.02%).
Euler h=0.25: y(0.25)=1.25000 (3.92%), y(0.5)=1.59938 (7.16%), y(0.75)=2.07362 (9.74%), y(1)=2.70335 (11.73%).
Heun h=0.5: y(0.5)=1.70928 (0.78%), y(1)=3.01906 (1.42%).
Runge–Kutta 4 h=0.5: y(0.5)=1.72232 (0.02%), y(1)=3.06155 (0.03%).

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