Resolva, no intervalo
a
, o problema de valor inicial
a) analiticamente;
b) usando o Método de Euler com
e
;
c) usando o Método de Heun (sem iteração no corretor) com
;
d) usando o Método de Runge-Kutta de ordem 4 com
;
Determine os erros relativos em todos os casos e em todos os passos, em relação à solução analítica.
b) usando o Método de Euler com
c) usando o Método de Heun (sem iteração no corretor) com
d) usando o Método de Runge-Kutta de ordem 4 com
Passo 1
Enunciado: Temos o PVI
no intervalo
. Conteúdo: EDO separável para achar solução exata e métodos numéricos (Euler explícito, Heun sem iteração, Runge–Kutta 4) para aproximar
em pontos, comparando com a solução analítica.
Passo 2
Solução analítica: separamos variáveis e integramos.
Passo 3
Cálculo dos valores exatos nos pontos:
Passo 4
Método de Euler explícito:
. Com
:
x=0: .
x=0.5: , erro relativo
.
x=1.0: , erro relativo
.
x=0:
x=0.5:
x=1.0:
Passo 5
Com
:
x=0.25: , erro
.
x=0.5: , erro
.
x=0.75: , erro
.
x=1.0: , erro
.
x=0.25:
x=0.5:
x=0.75:
x=1.0:
Passo 6
Método de Heun (sem iteração): preditor
, corretor
, com
:
x=0.5: ,
, erro
.
x=1.0: preditor ,
, erro
.
x=0.5:
x=1.0: preditor
Passo 7
Runge–Kutta de ordem 4 com
: fórmula padrão usando
.
x=0.5: obtém , erro
.
x=1.0: obtém , erro
.
x=0.5: obtém
x=1.0: obtém
Resposta
Solução analítica: y(x)=(1+ x/2+ x2/4)2. Valores exatos e aproximações:
Euler h=0.5: y(0)=1, y(0.5)=1.50000 (erro 12.93%), y(1)=2.41856 (erro 21.02%).
Euler h=0.25: y(0.25)=1.25000 (3.92%), y(0.5)=1.59938 (7.16%), y(0.75)=2.07362 (9.74%), y(1)=2.70335 (11.73%).
Heun h=0.5: y(0.5)=1.70928 (0.78%), y(1)=3.01906 (1.42%).
Runge–Kutta 4 h=0.5: y(0.5)=1.72232 (0.02%), y(1)=3.06155 (0.03%).
Euler h=0.5: y(0)=1, y(0.5)=1.50000 (erro 12.93%), y(1)=2.41856 (erro 21.02%).
Euler h=0.25: y(0.25)=1.25000 (3.92%), y(0.5)=1.59938 (7.16%), y(0.75)=2.07362 (9.74%), y(1)=2.70335 (11.73%).
Heun h=0.5: y(0.5)=1.70928 (0.78%), y(1)=3.01906 (1.42%).
Runge–Kutta 4 h=0.5: y(0.5)=1.72232 (0.02%), y(1)=3.06155 (0.03%).