Demonstre as seguintes propriedades das transformadas de Fourier:
\mathcal{F}{f(a t)}=\frac{1}{a} F\left(\frac{\omega}{a}\right)
\mathcal{F}{f(a t)}=\frac{1}{a} F\left(\frac{\omega}{a}\right)
Passo 1
O enunciado pede para mostrarmos a propriedade de “mudança de escala” na transformada de Fourier, ou seja, que para
vale
onde usamos a definição da transformada de Fourier de
:
Passo 2
Começamos aplicando diretamente a definição à função escalada
:
Passo 3
Fazemos a mudança de variável
. Assim
e
. Como
implica
, os limites continuam os mesmos. Substituindo na integral:
Passo 4
Reconhecemos a integral restante como
. Logo
que era o que devíamos demonstrar.