Demonstre as seguintes propriedades das transformadas de Fourier:
\mathcal{F}{f(a t)}=\frac{1}{a} F\left(\frac{\omega}{a}\right)

Passo 1

O enunciado pede para mostrarmos a propriedade de “mudança de escala” na transformada de Fourier, ou seja, que para a\neq 0 vale
\mathcal{F}\{f(a t)\}(\omega)=\frac{1}{a}\,F\Bigl(\frac{\omega}{a}\Bigr)
onde usamos a definição da transformada de Fourier de f:
F(\omega)=\int_{-\infty}^{\infty}f(t)\,e^{-j\omega t}\,dt.

Passo 2

Começamos aplicando diretamente a definição à função escalada f(a t):
\mathcal{F}\{f(a t)\}(\omega) =\int_{-\infty}^{\infty}f(a t)\,e^{-j\omega t}\,dt.

Passo 3

Fazemos a mudança de variável u=a\,t. Assim t=\tfrac{u}{a} e dt=\tfrac{du}{a}. Como t\to\pm\infty implica u\to\pm\infty, os limites continuam os mesmos. Substituindo na integral:
\int_{-\infty}^{\infty}f(a t)\,e^{-j\omega t}\,dt =\int_{-\infty}^{\infty}f(u)\, e^{-j\omega\,(u/a)}\,\frac{du}{a} =\frac{1}{a}\int_{-\infty}^{\infty}f(u)\, e^{-j(\omega/a)\,u}\,du.

Passo 4

Reconhecemos a integral restante como F(\omega/a). Logo
\mathcal{F}\{f(a t)\}(\omega) =\frac{1}{a}\;F\Bigl(\tfrac{\omega}{a}\Bigr),
que era o que devíamos demonstrar.

Resposta

\mathcal{F}\{f(a t)\}(\omega) =\frac{1}{a}\,F\Bigl(\frac{\omega}{a}\Bigr).

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