Determinar o valor aproximado de f(0,2) pela aplicação da interpolação quadrática, segundo a tabela: (utilize 2 casas decimais por truncamento)
X f(x)
0,5 0,25
0,3 0,49
0,1 0,81
b) Lagrange

Passo 1

O enunciado pede: aproximar o valor de f(0,2) usando interpolação quadrática pelo método de Lagrange, a partir da tabela de pontos abaixo. Os dados fornecidos são:
\begin{array}{|c|c|} \hline X & f(x) \\\ \hline 0,5 & 0,25 \\\ \hline 0,3 & 0,49 \\\ \hline 0,1 & 0,81 \\\ \hline \end{array}
Portanto a pergunta é: calcular o valor aproximado de f(0,2) (observe que o enunciado usa vírgula decimal, ou seja 0,2) usando interpolação quadrática no formato de Lagrange, e apresentar o resultado com duas casas decimais por truncamento.

Passo 2

Explicação do método de Lagrange (fórmula e significado das variáveis).
A interpolação quadrática constrói um polinômio P_2(x) de grau no máximo 2 que passa exatamente pelos três pontos dados (x_0,y_0),(x_1,y_1),(x_2,y_2). A forma de Lagrange é
P_2(x)=\sum_{i=0}^{2} y_i\,L_i(x),
onde cada polinômio base L_i(x) é definido por
L_i(x)=\prod_{\substack{j=0\\\ j\neq i}}^{2}\frac{x-x_j}{x_i-x_j}.
Aqui:
  • x é o ponto onde queremos avaliar o polinômio (no nosso caso x=0,2);
  • x_0,x_1,x_2 são os nós (os valores de X da tabela);
  • y_i=f(x_i) são os valores correspondentes de f;
  • Cada L_i(x) vale 1 em x=x_i e 0 em x=x_j para j\neq i, garantindo que P_2(x_i)=y_i.

Passo 3

Identificar e nomear os pontos da tabela:
x_0=0,5,\quad y_0=0,25;
x_1=0,3,\quad y_1=0,49;
x_2=0,1,\quad y_2=0,81.
Queremos P_2(0,2), ou seja x=0,2.

Passo 4

Calcular os denominadores (x_i-x_j) que aparecem em cada L_i(x) — faço com contas explícitas:
Para i=0:
x_0-x_1=0,5-0,3=0,2,
x_0-x_2=0,5-0,1=0,4,
logo o produto dos denominadores é 0,2\cdot0,4=0,08.
Para i=1:
x_1-x_0=0,3-0,5=-0,2,
x_1-x_2=0,3-0,1=0,2,
logo o produto é (-0,2)\cdot0,2=-0,04.
Para i=2:
x_2-x_0=0,1-0,5=-0,4,
x_2-x_1=0,1-0,3=-0,2,
logo o produto é (-0,4)\cdot(-0,2)=0,08.

Passo 5

Calcular os numeradores (x-x_j)(x-x_k) para x=0,2 e cada L_i.
Para L_0(0,2) (usar j=1,k=2):
(0,2-0,3)(0,2-0,1)=(-0,1)(0,1)=-0,01.
Para L_1(0,2) (usar j=0,k=2):
(0,2-0,5)(0,2-0,1)=(-0,3)(0,1)=-0,03.
Para L_2(0,2) (usar j=0,k=1):
(0,2-0,5)(0,2-0,3)=(-0,3)(-0,1)=0,03.

Passo 6

Dividir numeradores pelos denominadores para obter os valores das bases L_i(0,2).
L_0(0,2)=\frac{-0,01}{0,08}=-0,125.
L_1(0,2)=\frac{-0,03}{-0,04}=0,75.
L_2(0,2)=\frac{0,03}{0,08}=0,375.
Verificação rápida: L_0+L_1+L_2=-0,125+0,75+0,375=1, o que é esperado para polinômios de base de Lagrange.

Passo 7

Calcular P_2(0,2)=\sum_{i=0}^{2} y_i L_i(0,2) somando as contribuições passo a passo.
Contribuição de i=0:
y_0 L_0(0,2)=0,25\cdot(-0,125)=-0,03125.
Contribuição de i=1:
y_1 L_1(0,2)=0,49\cdot0,75=0,3675.
Contribuição de i=2:
y_2 L_2(0,2)=0,81\cdot0,375=0,30375.
Somando:
P_2(0,2)=-0,03125+0,3675+0,30375=0,64.

Passo 8

Truncamento para duas casas decimais: o valor obtido é 0,64 exatamente até duas casas; truncando para duas casas decimais o resultado continua sendo 0,64. (Nota: truncamento significa cortar dígitos após a segunda casa, sem arredondar.)

Resposta

f(0,2)\approx0,64

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