Determinar o valor aproximado de
pela aplicação da interpolação quadrática, segundo a tabela: (utilize 2 casas decimais por truncamento)
0,5
0,25
0,3
0,49
0,1
0,81
b) Lagrange
|
|
|
| 0,5 | 0,25 |
| 0,3 | 0,49 |
| 0,1 | 0,81 |
Passo 1
O enunciado pede: aproximar o valor de
usando interpolação quadrática pelo método de Lagrange, a partir da tabela de pontos abaixo. Os dados fornecidos são:
Portanto a pergunta é: calcular o valor aproximado de
(observe que o enunciado usa vírgula decimal, ou seja
) usando interpolação quadrática no formato de Lagrange, e apresentar o resultado com duas casas decimais por truncamento.
Passo 2
Explicação do método de Lagrange (fórmula e significado das variáveis).
A interpolação quadrática constrói um polinômio de grau no máximo 2 que passa exatamente pelos três pontos dados
. A forma de Lagrange é
A interpolação quadrática constrói um polinômio
onde cada polinômio base
é definido por
Aqui:
-
é o ponto onde queremos avaliar o polinômio (no nosso caso ); -
são os nós (os valores de da tabela); -
são os valores correspondentes de ; - Cada
vale em e em para , garantindo que .
Passo 3
Identificar e nomear os pontos da tabela:
Queremos
, ou seja
.
Passo 4
Calcular os denominadores
que aparecem em cada
— faço com contas explícitas:
Para :
Para
logo o produto dos denominadores é
.
Para
:
logo o produto é
.
Para
:
logo o produto é
.
Passo 5
Calcular os numeradores
para
e cada
.
Para (usar
):
Para
Para
(usar
):
Para
(usar
):
Passo 6
Dividir numeradores pelos denominadores para obter os valores das bases
.
Verificação rápida:
, o que é esperado para polinômios de base de Lagrange.
Passo 7
Calcular
somando as contribuições passo a passo.
Contribuição de :
Contribuição de
Contribuição de
:
Contribuição de
:
Somando:
Passo 8
Truncamento para duas casas decimais: o valor obtido é
exatamente até duas casas; truncando para duas casas decimais o resultado continua sendo
. (Nota: truncamento significa cortar dígitos após a segunda casa, sem arredondar.)