Dado o número 10.128 na base 10, qual é a sua representação na base 2 usando 8 algarismos significativos? Essa representação é exata?

Passo 1

Beleza, a questão pede pra gente converter o número 10.128 (base 10) pra base 2, mas usando só 8 algarismos significativos. Isso é conteúdo de “conversão de bases”, mais especificamente de parte inteira e parte fracionária. Vamos precisar:
  • Transformar a parte inteira (10) em binário dividindo por 2.
  • Transformar a parte fracionária (0.128) em binário multiplicando por 2 sucessivamente.
  • Depois juntar tudo e cortar pra ter só 8 dígitos significativos.

Passo 2

Primeiro, a parte inteira: 10₁₀
Dividindo por 2 até chegar a zero:
10 ÷ 2 = 5 rem 0
5 ÷ 2 = 2 rem 1
2 ÷ 2 = 1 rem 0
1 ÷ 2 = 0 rem 1
Lendo de baixo pra cima, dá 10₁₀ = 1010₂.

Passo 3

Agora a parte fracionária: 0.128₁₀
Multiplicamos por 2 e anotamos a parte inteira de cada resultado:
0.128·2 = 0.256 ⇒ bit 0
0.256·2 = 0.512 ⇒ bit 0
0.512·2 = 1.024 ⇒ bit 1 (pega o 1 e sobra 0.024)
0.024·2 = 0.048 ⇒ bit 0
0.048·2 = 0.096 ⇒ bit 0
0.096·2 = 0.192 ⇒ bit 0
0.192·2 = 0.384 ⇒ bit 0
0.384·2 = 0.768 ⇒ bit 0
…e por aí vai, mas a gente vai precisar só de alguns bits.

Passo 4

Juntando o que já temos:
10.128₁₀ ≈ 1010.001000…₂
Os zeros e uns depois do ponto vêm da sequência de bits que calculamos.

Passo 5

“8 algarismos significativos” significa contar todos os bits (antes e depois do ponto) até totalizar 8.
O inteiro “1010” já dá 4 bits, então pegamos só mais 4 bits fracionários: “0010”.
Fica:
1010.0010₂

Passo 6

Outra forma de escrever isso em notação normalizada (tipo ponto flutuante) é deslocar o ponto pra ter só 1 bit antes dele:
1010.0010₂ = 1.0100010₂ × 2³
Aqui a mantissa (1.0100010) tem 8 dígitos significativos: 1,0,1,0,0,0,1,0.

Passo 7

A pergunta “é exata?”
Como 0.128₁₀ em binário gera uma sequência infinita (não “encaixa” direitinho em potência de 2), a nossa representação com 8 dígitos é só uma aproximação.

Resposta

A representação de 10.128₁₀ com 8 algarismos significativos em binário é
1.01000102 times 2^3
e ela não é exata, é uma aproximação.

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