Determine se as seguintes sequências são convegentes ou divergentes. Caso convergente, calcule o seu limite.

Passo 1

Beleza, então o enunciado pede pra gente analisar a sequência
an = 3^n , 7^-n
e dizer se ela converge ou diverge. Se for convergente, temos que achar o limite.
Conteúdo: sequência numérica e limite de sequência (aqui, é uma progressão geométrica).
O que vamos precisar:
  • Reescrever como uma potência única.
  • Saber a teoria de limites de sequências geométricas: quando a razão satisfaz , o limite é 0; se , diverge para infinito ou menos infinito; se , é constante ou oscila.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a expressão de um jeito mais simples. Como an = 3^n,7^-n = l(3cdot17r)^n = l(tfrac37r)^n , a gente tem:

Passo 3

Agora, lembra da teoria de sequência geométrica?
Uma sequência do tipo
gn = r^n
satisfaz:
  • Se , então .
  • Se , (diverge).
  • Se , pode ser constante (se ) ou oscilar entre valores (se ).

Passo 4

No nosso caso, l|tfrac37r| = tfrac37 approx 0,4286 < 1 . Vamos ver o valor absoluto:
Então cai no caso .

Passo 5

Aplicando a regra, temos
limntoinfty an = limntoinfty l(tfrac37r)^n = 0

Resposta

A sequência é convergente e seu limite é .

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