Para um dado número real l2 x-y+z=-7 -x+3 y-2 z=5 x+2 y+a z=-2
O sistema dado acima terá solução única quando o número a) -1
b) -2
c) 1
d) 2
e) 0

Passo 1

Beleza, aqui a gente tem um sistema linear de 3 equações e 3 incógnitas:
2x - y + z = -7, -,x + 3y - 2z = 5, x + 2y + a,z = -2
Conteúdo: sistemas lineares e determinante de matriz.
O que precisamos: lembrar que um sistema 3×3 tem solução única se, e somente se, o determinante da matriz dos coeficientes for diferente de zero.

Passo 2

Vamos escrever a matriz dos coeficientes e lembrar da definição de determinante 3×3.
Matriz A:
A = 2 & -1 & 1 -1 & 3 & -2 1 & 2 & a
Condição de solução única:
det(A)neq 0

Passo 3

Agora calculamos det(A) =2cdot3 & -22 & a -(-1)cdot-1 & -21 & a +1cdot-1 & 31 & 2 pela regra de Laplace na primeira linha:
3 & -22 & a =3a -(-4)=3a+4,
Cada menor é
-1 & -21 & a =(-1),a -(-2),1=-a+2,
-1 & 31 & 2 =(-1)cdot2-3cdot1=-2-3=-5
det(A) =2(3a+4)-(-1)(-a+2)+1cdot(-5) =6a+8;-;(, -a+2,);-;5 =6a+8 -(-a+2)-5
Substituindo:
det(A)=6a+8 +a-2 -5 =7a +1
Cuidado com o sinal: . Então

Passo 4

Condição de solução única:
det(A)neq0 Longrightarrow 7a+1neq0 Longrightarrow aneq-tfrac17
Mas atenção: revisando o cálculo, antes obtivemos – vamos reavaliar a soma dos termos:
6a+8 + (a - 2) - 5 = 7a +1.
Logo, de fato .
Então a solução é única sempre que , ou seja .

Resposta

O sistema tem solução única para
boxeda neq -tfrac17

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