Dado o problema de valor inicial
\begin{aligned} \varphi(0) & =1 \\\ \frac{d \varphi}{d t} & =30(\sin t-\varphi)+3 \cos t \end{aligned}
e use o método de Euler implícito na determinação da solução entre t=0 até 1 usando \Delta t=0,5.

Passo 1

O enunciado dá o problema de valor inicial
\begin{aligned} \varphi(0)&=1,\\\ \frac{d\varphi}{dt}&=30\bigl(\sin t-\varphi\bigr)+3\cos t, \end{aligned}
pede a aproximação de \varphi(t) em t=0,5 e t=1 pelo método de Euler implícito com passo \Delta t=0,5. Vamos usar o esquema
\varphi_{n+1}=\varphi_n + h\,f\bigl(t_{n+1},\varphi_{n+1}\bigr),
onde f(t,\varphi)=30(\sin t-\varphi)+3\cos t e h=0,5.

Passo 2

Escrevendo o passo geral do Euler implícito, para t_{n+1}=t_n+h:
\varphi_{n+1}=\varphi_n + h\bigl[30(\sin t_{n+1}-\varphi_{n+1})+3\cos t_{n+1}\bigr].
Reorganizando em \varphi_{n+1}, temos
\varphi_{n+1} +30h\,\varphi_{n+1} =\varphi_n +30h\,\sin t_{n+1} +3h\,\cos t_{n+1},
ou seja
(1+30h)\,\varphi_{n+1} =\varphi_n +30h\,\sin t_{n+1} +3h\,\cos t_{n+1}.

Passo 3

Para o primeiro passo, t_0=0, \varphi_0=1, t_1=0,5 e h=0,5. Então 1+30h=1+15=16 e
16\,\varphi_1 =1 +30\cdot0,5\,\sin(0,5) +3\cdot0,5\,\cos(0,5) =1 +15\,\sin(0,5) +1{,}5\,\cos(0,5).
Logo
\varphi_1 =\frac{1 +15\sin(0,5) +1{,}5\cos(0,5)}{16} \approx0,59423.

Passo 4

Para o segundo passo, t_1=0,5, \varphi_1\approx0,59423, t_2=1 e ainda 1+30h=16. Temos
16\,\varphi_2 =\varphi_1 +15\,\sin(1) +1{,}5\,\cos(1),
portanto
\varphi_2 =\frac{\varphi_1 +15\sin(1) +1{,}5\cos(1)}{16} \approx0,87667.

Resposta

\varphi(0{,}5)\approx0{,}59423 \varphi(1)\approx0{,}87667

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