Verifique as seguintes afirmações:
\left[\begin{array}{ccc}1 & 0 & 0 \\\ m_{21} & 1 & 0 \\\ m_{31} & 0 & 1\end{array}\right] é a inversa de \left[\begin{array}{ccc}1 & 0 & 0 \\\\ -m_{21} & 1 & 0 \\\\ -m_{31} & 0 & 1\end{array}\right].

Passo 1

O enunciado nos dá duas matrizes triangulares inferiores
A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\\ m_{21} & 1 & 0\\\ m_{31} & 0 & 1 \end{pmatrix}
e
B = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\\\ -\,m_{21} & 1 & 0\\\\ -\,m_{31} & 0 & 1 \end{pmatrix}
e pede para verificar que A é a inversa de B. Para isso, vamos calcular os produtos AB e BA e mostrar que ambos resultam na matriz identidade I_{3}.

Passo 2

Calcular o produto AB. Cada entrada de AB é obtida combinando linhas de A com colunas de B. O resultado é
AB = \begin{pmatrix} 1\cdot1 + 0\cdot(-m_{21}) + 0\cdot(-m_{31}) & 1\cdot0 + 0\cdot1 + 0\cdot0 & 1\cdot0 + 0\cdot0 + 0\cdot1\\\ m_{21}\cdot1 + 1\cdot(-m_{21}) + 0\cdot(-m_{31}) & m_{21}\cdot0 + 1\cdot1 + 0\cdot0 & m_{21}\cdot0 + 1\cdot0 + 0\cdot1\\\ m_{31}\cdot1 + 0\cdot(-m_{21}) + 1\cdot(-m_{31}) & m_{31}\cdot0 + 0\cdot1 + 1\cdot0 & m_{31}\cdot0 + 0\cdot0 + 1\cdot1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\\ m_{21}-m_{21} & 1 & 0\\\ m_{31}-m_{31} & 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\\\ 0 & 1 & 0\\\\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} = I_{3}.

Passo 3

Calcular o produto BA. De forma análoga,
BA = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\\\ -\,m_{21} & 1 & 0\\\\ -\,m_{31} & 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\\ m_{21} & 1 & 0\\\ m_{31} & 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\\\ -\,m_{21} + m_{21} & 1 & 0\\\\ -\,m_{31} + m_{31} & 0 & 1 \end{pmatrix} = I_{3}.

Passo 4

Como obtivemos AB = I_{3} e BA = I_{3}, concluímos que A e B são inversas uma da outra.

Resposta

As matrizes são inversas, pois AB = BA = I_{3}.

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