Empregue o método de Euler e os incrementos de espaço 0,1 e 0,05 e determine a solução numérica do problema de valor inicial
\begin{aligned} \frac{d \varphi}{d t}+\left(\frac{2}{t}\right) \varphi & =\frac{3}{t^{3}}+1 \\\ \varphi(1) & =1,0 \end{aligned}
em \mathrm{t}=1 compare os valores numéricos com os exatos
\varphi(t)=\frac{1}{3 t^{2}}\left(9 \ln t+t^{3}+2\right) .

Passo 1

O enunciado pede para aproximar a solução da EDO
\frac{d\varphi}{dt} + \frac{2}{t}\,\varphi = \frac{3}{t^3}+1, \quad \varphi(1)=1
no ponto t=2 (usando o passo h=0,1 e h=0,05) pelo método de Euler, e comparar com a solução exata
\varphi(t) = \frac{1}{3\,t^2}\,\bigl(9\ln t + t^3 + 2\bigr).
Para isso vamos usar a fórmula iterativa de Euler
\varphi_{n+1} = \varphi_n + h\,f(t_n,\varphi_n),
onde
f(t,\varphi) = -\frac{2}{t}\,\varphi + \frac{3}{t^3} + 1.

Passo 2

Aplicando h=0{,}1 de t_0=1 até t_{10}=2 (10 passos):
Mostramos as duas primeiras iterações e o resultado final.
Para n=0: t_0=1, \varphi_0=1
f(t_0,\varphi_0) = -\frac{2}{1}\cdot1 + \frac{3}{1^3} + 1 = -2 + 3 + 1 = 2,
\varphi_1 = 1 + 0{,}1\cdot2 = 1{,}2,\quad t_1=1{,}1.
Para n=1: t_1=1{,}1, \varphi_1=1{,}2
f(t_1,\varphi_1) = -\frac{2}{1{,}1}\cdot1{,}2 + \frac{3}{(1{,}1)^3} +1 \approx -2{,}1818 + 2{,}2536 + 1 = 1{,}0718,
\varphi_2 = 1{,}2 + 0{,}1\cdot1{,}0718 = 1{,}30718.
Iterando até t=2 obtemos
\varphi_{10}\approx 1{,}39040.

Passo 3

Agora com h=0{,}05 de t_0=1 até t_{20}=2 (20 passos):
Mostramos o primeiro passo e o valor final aproximado.
Para n=0: t_0=1, \varphi_0=1
f(t_0,\varphi_0)=2, \quad \varphi_1 = 1 + 0{,}05\cdot2 = 1{,}1.
Iterando até t=2 obtemos
\varphi_{20}\approx 1{,}37200.

Passo 4

Cálculo da solução exata em t=2:
\varphi(2) = \frac{1}{3\cdot2^2}\,\bigl(9\ln2 + 2^3 +2\bigr) = \frac{1}{12}\,\bigl(9\cdot0{,}6931 + 8 + 2\bigr) \approx 1{,}35319.
Eram esperados erros de ordem O(h):
para h=0{,}1, \bigl|\varphi_{10}-\varphi(2)\bigr|\approx |1{,}39040 -1{,}35319|=0{,}03721,
para h=0{,}05, \bigl|\varphi_{20}-\varphi(2)\bigr|\approx |1{,}37200 -1{,}35319|=0{,}01881.

Resposta

Para t=2:
\begin{aligned} \text{Euler }(h=0{,}1)\colon&\quad \varphi(2)\approx1{,}39040,\quad \text{erro}\approx0{,}03721,\\\ \text{Euler }(h=0{,}05)\colon&\quad \varphi(2)\approx1{,}37200,\quad \text{erro}\approx0{,}01881,\\\ \text{Exato}\colon&\quad \varphi(2)\approx1{,}35319. \end{aligned}

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