Um vírus de computador que se prolifera por mensagens de correio eletrônico (e-mail) é colocado em 3 máquinas no primeiro dia. Diariamente, cada computador infectado no dia anterior infecta 5 novas máquinas. No final do segundo dia, é desenvolvido um programa para atacar o vírus, e se limpa 1 computador. A cada dia a partir daí, são limpas 6 vezes mais máquinas do que foram limpas no dia anterior.
(a) Escreva uma relação de recorrência para o número total de máquinas infectadas num determinado dia n e resolva essa relação.
(b) Quantos dias irão se passar até os efeitos do vírus estarem completamente eliminados?

Passo 1

O enunciado trata do número de máquinas infectadas num dia n. No primeiro dia temos 3 máquinas infectadas. A cada dia, cada máquina infectada no dia anterior gera 5 novas infecções. Ao final do segundo dia começa a limpeza: no dia 2 limpa-se 1 máquina, e a partir daí a cada dia limpa-se 6 vezes o que foi limpo no dia anterior.
Conteúdo: recorrência linear não homogênea e sua resolução por soma da solução geral homogênea com uma solução particular.

Passo 2

Definimos I(n) como o número de máquinas infectadas ao final do dia n.
– Infecções: se no dia n-1 havia I(n-1) infectadas, no dia n aparecem 5I(n-1) novas, logo sem limpeza teríamos
I(n)=I(n-1)+5\,I(n-1)=6\,I(n-1).
– Limpeza: ao final do dia 2 limpa-se C(2)=1 máquina; para n\ge3,
C(n)=6\,C(n-1),
logo C(n)=6^{\,n-2} (pois C(2)=6^0).
Assim, para n\ge2, a recorrência completa é
I(n)=6\,I(n-1)-6^{\,n-2},
com condição inicial I(1)=3.

Passo 3

Resolvemos a recorrência
I(n)-6\,I(n-1)=-6^{\,n-2}.
  1. Solução homogênea: I_h(n)=A\cdot6^{\,n-1}.
  2. Para a parte particular, como o termo não homogêneo é da forma 6^{\,n-2} e 6 é raiz da equação característica, tentamos
I_p(n)=k\,n\,6^{\,n-2}.
Substituindo na recorrência e dividindo por 6^{\,n-2} obtém-se
k\,n = k\,(n-1)-1 \quad\Longrightarrow\quad k=-1.
Logo
I_p(n)=-\,n\,6^{\,n-2}.

Passo 4

A solução geral é
I(n)=I_h(n)+I_p(n) =A\,6^{\,n-1}-n\,6^{\,n-2}.
Usando I(1)=3:
3=A\cdot6^{0}-1\cdot6^{-1} \quad\Longrightarrow\quad A=3+\tfrac16=\tfrac{19}{6}.
Portanto, para n\ge2,
I(n) =\frac{19}{6}\,6^{\,n-1}-n\,6^{\,n-2} =(19-n)\,6^{\,n-2}.

Passo 5

Para eliminar totalmente o vírus, precisamos de I(n)=0. Da expressão
I(n)=(19-n)\,6^{\,n-2}=0
vem 19-n=0, ou seja n=19.

Resposta

Parte (a)
\begin{cases} I(1)=3,\\\ I(n)=6\,I(n-1)-6^{\,n-2},\quad n\ge2, \end{cases}
cuja solução fechada para n\ge2 é
I(n)=(19-n)\,6^{\,n-2}.
Parte (b)
São necessários 19 dias para que o número de máquinas infectadas se torne zero.

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