Um vírus de computador que se prolifera por mensagens de correio eletrônico (e-mail) é colocado em 3 máquinas no primeiro dia. Diariamente, cada computador infectado no dia anterior infecta 5 novas máquinas. No final do segundo dia, é desenvolvido um programa para atacar o vírus, e se limpa 1 computador. A cada dia a partir daí, são limpas 6 vezes mais máquinas do que foram limpas no dia anterior.
(a) Escreva uma relação de recorrência para o número total de máquinas infectadas num determinado dia
e resolva essa relação.
(b) Quantos dias irão se passar até os efeitos do vírus estarem completamente eliminados?
(a) Escreva uma relação de recorrência para o número total de máquinas infectadas num determinado dia
(b) Quantos dias irão se passar até os efeitos do vírus estarem completamente eliminados?
Passo 1
O enunciado trata do número de máquinas infectadas num dia
. No primeiro dia temos 3 máquinas infectadas. A cada dia, cada máquina infectada no dia anterior gera 5 novas infecções. Ao final do segundo dia começa a limpeza: no dia 2 limpa-se 1 máquina, e a partir daí a cada dia limpa-se 6 vezes o que foi limpo no dia anterior.
Conteúdo: recorrência linear não homogênea e sua resolução por soma da solução geral homogênea com uma solução particular.
Conteúdo: recorrência linear não homogênea e sua resolução por soma da solução geral homogênea com uma solução particular.
Passo 2
Definimos
como o número de máquinas infectadas ao final do dia
.
– Infecções: se no dia havia
infectadas, no dia
aparecem
novas, logo sem limpeza teríamos
– Infecções: se no dia
– Limpeza: ao final do dia 2 limpa-se
máquina; para
,
logo
(pois
).
Assim, para , a recorrência completa é
Assim, para
com condição inicial
.
Passo 3
Resolvemos a recorrência
- Solução homogênea:
. - Para a parte particular, como o termo não homogêneo é da forma
e é raiz da equação característica, tentamos
Substituindo na recorrência e dividindo por
obtém-se
Logo
Passo 4
A solução geral é
Usando
:
Portanto, para
,
Passo 5
Para eliminar totalmente o vírus, precisamos de
. Da expressão
vem
, ou seja
.
Resposta
Parte (a)
cuja solução fechada para
é
Parte (b)
São necessários 19 dias para que o número de máquinas infectadas se torne zero.
São necessários 19 dias para que o número de máquinas infectadas se torne zero.