Use o método de Euler, com os seguintes incrementos de espaço \Delta t=0,1 e 0,05 e encontre a solução aproximada do problema de valor inicial
\begin{aligned} \frac{d \varphi}{d t}+3 \varphi & =7 e^{4 t} \\\ \varphi(0) & =2 \end{aligned}
em t=0,1. Compare estes valores com os da solução exata dada por
\varphi(t)=e^{4 t}+e^{-3 t} .

Passo 1

O enunciado pede para aproximar, em t=0,1, a solução do problema de valor inicial
\frac{d\varphi}{dt}+3\varphi=7e^{4t},\quad \varphi(0)=2
usando o método de Euler explícito com dois passos de tamanho \Delta t=0,1 e \Delta t=0,05.
O método de Euler diz que, a partir de um ponto (t_n,\varphi_n), a iteração é
\varphi_{n+1}=\varphi_n+\Delta t\,f(t_n,\varphi_n),
onde
f(t,\varphi)=7e^{4t}-3\varphi.

Passo 2

Aplicando Euler com \Delta t=0,1:
Em t_0=0, \varphi_0=2. Calculamos
f(t_0,\varphi_0)=7e^{4\cdot0}-3\cdot2=7-6=1.
Logo,
\varphi_1=\varphi_0+0,1\cdot1=2+0,1=2,1.
Portanto, a aproximação em t=0,1 é \varphi(0,1)\approx2,1.

Passo 3

Aplicando Euler com \Delta t=0,05:
– Em t_0=0, \varphi_0=2, temos novamente
f(t_0,\varphi_0)=1,
logo
\varphi_1=\varphi_0+0,05\cdot1=2+0,05=2,05.
– Em t_1=0,05, \varphi_1=2,05, calculamos
f(t_1,\varphi_1)=7e^{4\cdot0,05}-3\cdot2,05 =7e^{0,2}-6,15 \approx7\cdot1,221402758-6,15 \approx2,399819306.
Então
\varphi_2=\varphi_1+0,05\cdot2,399819306 \approx2,05+0,119990965=2,169990965\approx2,16999.
Portanto, em t=0,1 obtemos \varphi(0,1)\approx2,16999.

Passo 4

A solução exata é
\varphi(t)=e^{4t}+e^{-3t}.
Em t=0,1 isso dá
\varphi(0,1)=e^{0,4}+e^{-0,3} \approx1,491824698+0,740818221 \approx2,232642919.
Os erros são
\bigl|\text{exata}-\text{Euler }0,1\bigr| \approx|2,23264-2,1|=0,13264,
\bigl|\text{exata}-\text{Euler }0,05\bigr| \approx|2,23264-2,16999|=0,06265.
Observa-se que reduzir \Delta t melhora a aproximação.

Resposta

Para t=0,1:
– Euler com \Delta t=0,1: \varphi\approx2,1 (erro \approx0,1326).
– Euler com \Delta t=0,05: \varphi\approx2,16999 (erro \approx0,0626).
– Solução exata: \varphi(0,1)\approx2,23264.

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