Dado o problema de valor inicial
y^{\prime}=\frac{1}{t^{2}}-\frac{y}{t}-y^{2}, \quad 1 \leq t \leq 2, \quad y(1)=-1
com a solução exata y(t)=-1 / t :
a) Use o método de Euler com h=0,05 para encontrar a aproximação da solução e compare-a com os valores reais de y.
b) Use as respostas geradas na parte (a) e a interpolação linear para aproximar os valores de y a seguir e compare-os com os valores reais.
i) y(1,052)
ii) y(1,555)
iii) y(1,978)
c) Calcule o valor de h necessário para que \left|y\left(t_{i}\right)-w_{i}\right| \leq 0,05 usando a Equação (5.10).
\left|y\left(t_{i}\right)-w_{i}\right| \leq \frac{h M}{2 L}\left[e^{L\left(t_{i}-a\right)}-1\right]

Passo 1

O enunciado trata de resolver numericamente o problema de valor inicial
y'=\frac{1}{t^{2}}-\frac{y}{t}-y^{2},\quad y(1)=-1,\quad 1\le t\le2
cuja solução exata é y(t)=-\tfrac1t.
Conteúdo: método de Euler explícito, interpolação linear e cota de erro global de Euler (Equação (5.10)).

Passo 2

Aplicamos o método de Euler com passo h=0,05. Denotando t_{i}=1+i\,h e w_{i}\approx y(t_{i}), temos
w_{0}=-1, \qquad w_{i+1}=w_{i}+h\,f(t_{i},w_{i}),
com
f(t,y)=\frac{1}{t^{2}}-\frac{y}{t}-y^{2}.
Calculamos alguns pontos-chaves (arredondados a cinco casas):
\begin{array}{c|c|c|c} i & t_{i} & w_{i} & f(t_{i},w_{i})\\hline 0 & 1{,}00 & -1{,}00000 & 1{,}00000\\\\ 1 & 1{,}05 & -0{,}95000 & 0{,}90930\\\\ 2 & 1{,}10 & -0{,}90454 & 0{,}83056\\\\ 3 & 1{,}15 & -0{,}86301 & 0{,}76180\\\\ 4 & 1{,}20 & -0{,}82492 & 0{,}70140\\\\ 5 & 1{,}25 & -0{,}78985 & 0{,}64699\\\\ 10 & 1{,}50 & -0{,}65450 & 0{,}48272\\\\ 15 & 1{,}75 & -0{,}56001 & 0{,}32098\\\\ 20 & 2{,}00 & -0{,}49283 & 0{,}23661 \end{array}

Passo 3

Comparamos com o exato y(t_i)=-1/t_i e calculamos o erro e_i=y(t_i)-w_i:
\begin{array}{c|c|c|c} t_{i} & w_{i} & y(t_{i})=-\tfrac1{t_{i}} & e_i=y(t_i)-w_i \\hline 1{,}00 & -1{,}00000 & -1{,}00000 & 0{,}00000\\\\ 1{,}05 & -0{,}95000 & -0{,}95238 & -0{,}00238\\\\ 1{,}10 & -0{,}90454 & -0{,}90909 & -0{,}00456\\\\ 1{,}15 & -0{,}86301 & -0{,}86957 & -0{,}00656\\\\ 1{,}20 & -0{,}82492 & -0{,}83333 & -0{,}00841\\\\ 1{,}25 & -0{,}78985 & -0{,}80000 & -0{,}01015\\\\ 1{,}50 & -0{,}65450 & -0{,}66667 & -0{,}01217\\\\ 1{,}75 & -0{,}56001 & -0{,}57143 & -0{,}01142\\\\ 2{,}00 & -0{,}49283 & -0{,}50000 & -0{,}00717 \end{array}
O erro cresce até cerca de 10^{-2} e permanece abaixo de 1{,}3\times10^{-2} neste intervalo.

Passo 4

Para cada t pedido fazemos interpolação linear entre os nós t_k\le t\le t_{k+1}.
i) t=1{,}052 fica entre t_{1}=1{,}05 e t_{2}=1{,}10.
w(1{,}052)\approx w_{1}+\frac{1{,}052-1{,}05}}{h}\,(w_{2}-w_{1}) =-0{,}95000+0{,}04\,(0{,}04546)=-0{,}94818.
Exato: y(1{,}052)=-1/1{,}052=-0{,}94992. Erro \approx-0{,}00174.
ii) t=1{,}555 fica entre t_{11}=1{,}55 e t_{12}=1{,}60.
De w_{11}\approx-0{,}63283, w_{12}\approx-0{,}61231:
w(1{,}555)\approx -0{,}63283+0{,}10\,(0{,}02052)=-0{,}63078.
Exato: -1/1{,}555=-0{,}64309. Erro \approx0{,}01231.
iii) t=1{,}978 fica entre t_{19}=1{,}95 e t_{20}=2{,}00.
De w_{19}\approx-0{,}50466, w_{20}\approx-0{,}49283:
w(1{,}978)\approx -0{,}50466+0{,}56\,(0{,}01183)=-0{,}49805.
Exato: -1/1{,}978=-0{,}50509. Erro \approx0{,}00704.

Passo 5

Pela cota
|y(t_i)-w_i|\le\frac{hM}{2L}\bigl[e^{L(t_i-1)}-1\bigr],
onde
f_{y}(t,y)=-\frac1t-2y,\quad y(t)=-\frac1t,
então |f_{y}|\le L=\max_{t\in[1,2]}\frac1t=1.
Como y''(t)=-\tfrac{2}{t^{3}}, temos M=\max|y''|=2.
Para t_i=2 a maior cota:
|e_i|\le\frac{h\cdot2}{2\cdot1}\bigl[e^{1}-1\bigr] =h\bigl(e-1\bigr)\approx1{,}7183\,h.
Queremos 1{,}7183\,h\le0{,}05, logo
h\le\frac{0{,}05}{1{,}7183}\approx0{,}0291.

Resposta

a) Tabela de aproximações w_i, valores exatos e erros dada acima.
b)
i) w(1{,}052)\approx-0{,}94818, erro \approx-0{,}00174.
ii) w(1{,}555)\approx-0{,}63078, erro \approx0{,}01231.
iii) w(1{,}978)\approx-0{,}49805, erro \approx0{,}00704.
c) Para garantir |y(t_i)-w_i|\le0{,}05 até t=2 basta h\le0{,}0291.

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