Dado o problema de valor inicial
com a solução exata
:
a) Use o método de Euler com
para encontrar a aproximação da solução e compare-a com os valores reais de
.
b) Use as respostas geradas na parte (a) e a interpolação linear para aproximar os valores de
a seguir e compare-os com os valores reais.
i)
ii)
iii)
c) Calcule o valor de
necessário para que
usando a Equação (5.10).
a) Use o método de Euler com
b) Use as respostas geradas na parte (a) e a interpolação linear para aproximar os valores de
i)
ii)
iii)
c) Calcule o valor de
Passo 1
O enunciado trata de resolver numericamente o problema de valor inicial
cuja solução exata é
.
Conteúdo: método de Euler explícito, interpolação linear e cota de erro global de Euler (Equação (5.10)).
Conteúdo: método de Euler explícito, interpolação linear e cota de erro global de Euler (Equação (5.10)).
Passo 2
Aplicamos o método de Euler com passo
. Denotando
e
, temos
com
Calculamos alguns pontos-chaves (arredondados a cinco casas):
Passo 3
Comparamos com o exato
e calculamos o erro
:
O erro cresce até cerca de
e permanece abaixo de
neste intervalo.
Passo 4
Para cada
pedido fazemos interpolação linear entre os nós
.
i)
fica entre
e
.
Exato:
. Erro
.
ii)
fica entre
e
.
De ,
:
De
Exato:
. Erro
.
iii)
fica entre
e
.
De ,
:
De
Exato:
. Erro
.
Passo 5
Pela cota
onde
então
.
Como , temos
.
Para a maior cota:
Como
Para
Queremos
, logo
Resposta
a) Tabela de aproximações
, valores exatos e erros dada acima.
b)
i) , erro
.
ii) , erro
.
iii) , erro
.
c) Para garantir até
basta
.
b)
i)
ii)
iii)
c) Para garantir