Questão 1:
Dado o PVI:
.
(a) Determine uma aproximação para
usando o método de Runge-Kutta de ordem 2 , com
. Compare o resultado com a solução exata
.
(b) Ao se utilizar um método numérico para resolver o PVI, utilizando-se diferentes tamanhos de
, obteve-se a seguinte tabela:
sendo
o erro cometido na aproximação de
. Com base nos resultados apresentados na tabela, o que se pode inferir sobre a ordem de aproximação do método numérico utilizado? Justifique.
(a) Determine uma aproximação para
(b) Ao se utilizar um método numérico para resolver o PVI, utilizando-se diferentes tamanhos de
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Passo 1
O enunciado nos dá o problema de valor inicial
e pede em (a) uma aproximação de
usando o método de Runge–Kutta de ordem 2 (passo
) e comparar com a solução exata
Em (b) há uma tabela de erros para vários
que devemos usar para inferir a ordem de convergência do método numérico.
Passo 2
Aplicamos o esquema de Runge–Kutta de ordem 2 (método do ponto médio) em dois passos de comprimento
.
No primeiro passo, de a
:
–
–
–
–
No primeiro passo, de
–
–
–
–
Passo 3
No segundo passo, de
a
:
–
–
–
–
Aproximação numérica:
A solução exata é
–
–
–
–
Aproximação numérica:
A solução exata é
logo o erro é cerca de
Passo 4
Na tabela de (b), quando reduzimos
pela metade, o erro
cai em cerca de um fator
. Por exemplo, de
para
. Isso indica que
ou seja, o erro global decresce como
. Logo, o método tem ordem de aproximação 2.
Resposta
(a) Pela aplicação do RK2 com
obtivemos
comparado com o exato
.
(b) Como ao halvar o erro reduz em
, infere-se que o método é de ordem 2.
(b) Como ao halvar