Questão 1:

Dado o PVI: y^{\prime}(t)=\cos (t)+1, y(0)=-1, \operatorname{com} t \in[0,0.5].
(a) Determine uma aproximação para y(0.5) usando o método de Runge-Kutta de ordem 2 , com \Delta t=0.25. Compare o resultado com a solução exata y(t)=\sin (t)+t-1.
(b) Ao se utilizar um método numérico para resolver o PVI, utilizando-se diferentes tamanhos de \Delta t, obteve-se a seguinte tabela:
\Delta t E(t, \Delta t), t=0.5
0.125000 \times 10^{0} 0.624414 \times 10^{-3}
0.625000 \times 10^{-1} 0.156073 \times 10^{-3}
0.312500 \times 10^{-1} 0.390163 \times 10^{-4}
0.156250 \times 10^{-1} 0.975397 \times 10^{-5}
sendo E(t, \Delta t) o erro cometido na aproximação de y(0.5). Com base nos resultados apresentados na tabela, o que se pode inferir sobre a ordem de aproximação do método numérico utilizado? Justifique.

Passo 1

O enunciado nos dá o problema de valor inicial
y'(t)=\cos(t)+1,\quad y(0)=-1,\quad t\in[0,0.5],
e pede em (a) uma aproximação de y(0.5) usando o método de Runge–Kutta de ordem 2 (passo \Delta t=0,25) e comparar com a solução exata
y_{\mathrm{ex}}(t)=\sin(t)+t-1.
Em (b) há uma tabela de erros para vários \Delta t que devemos usar para inferir a ordem de convergência do método numérico.

Passo 2

Aplicamos o esquema de Runge–Kutta de ordem 2 (método do ponto médio) em dois passos de comprimento \Delta t=0,25.
No primeiro passo, de t_{0}=0 a t_{1}=0,25:
k_{1}=f(t_{0},y_{0})=\cos(0)+1=2.
y_{\mathrm{mid}}=y_{0}+\tfrac{\Delta t}{2}k_{1}=-1+0,125\cdot2=-0,75.
k_{2}=f(t_{0}+0,125,y_{\mathrm{mid}})=\cos(0,125)+1\approx1,992197.
y_{1}=y_{0}+\Delta t\,k_{2}=-1+0,25\cdot1,992197\approx-0,501951.

Passo 3

No segundo passo, de t_{1}=0,25 a t_{2}=0,5:
k_{1}=f(0,25,y_{1})=\cos(0,25)+1\approx1,968912.
y_{\mathrm{mid}}=y_{1}+0,125\cdot1,968912\approx-0,255837.
k_{2}=f(0,375,y_{\mathrm{mid}})=\cos(0,375)+1\approx1,930507.
y_{2}=y_{1}+0,25\cdot1,930507\approx-0,019324.
Aproximação numérica: \,y(0.5)\approx-0,019324.
A solução exata é
y_{\mathrm{ex}}(0,5)=\sin(0,5)+0,5-1\approx-0,020574,
logo o erro é cerca de 1,25\times10^{-3}.

Passo 4

Na tabela de (b), quando reduzimos \Delta t pela metade, o erro E(0,5,\Delta t) cai em cerca de um fator 4. Por exemplo, de 0,6244\times10^{-3} para 0,1561\times10^{-3}. Isso indica que
E\propto(\Delta t)^{2},
ou seja, o erro global decresce como \Delta t^{2}. Logo, o método tem ordem de aproximação 2.

Resposta

(a) Pela aplicação do RK2 com \Delta t=0,25 obtivemos
y(0.5)\approx-0,019324,
comparado com o exato -0,020574.
(b) Como ao halvar \Delta t o erro reduz em \times\!4, infere-se que o método é de ordem 2.

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