Questão 2:

(a) A fórmula de integração
\int_{-1}^{1} f(t) d t=\frac{1}{9}[5 f(-a)+8 f(0)+5 f(a)]
\operatorname{com} a=\sqrt{0.6} é exata para todo polinômio de grau menor ou igual a 5. Utilize-a para avaliar \int_{0}^{3}\left(x^{5}-3 x^{2}\right) d x.
(b) Determine o valor de h, para que se possa avaliar a integral anterior, com erro inferior a 10^{-4}, usando a fórmula de Simpson.

Passo 1

O enunciado dá a fórmula de Newton–Cotes fechada de três pontos
\int_{-1}^{1}f(t)\,dt = \frac{1}{9}\bigl[5f(-a)+8f(0)+5f(a)\bigr],
com a=\sqrt{0,6}, exata para polinômios de grau até 5. Em (a) vamos usá-la para avaliar
\displaystyle \int_{0}^{3}\bigl(x^{5}-3x^{2}\bigr)\,dx
fazendo a mudança de variável que leva [0,3] em [-1,1]. Em (b) vamos determinar o passo h para que o erro do método de Simpson composto fique abaixo de 10^{-4}.

Passo 2

Fazemos a transformação afim
x = \frac{3}{2}\,t + \frac{3}{2},\quad t\in[-1,1],
logo
dx = \frac{3}{2}\,dt \quad\text{e}\quad \int_{0}^{3}f(x)\,dx = \int_{-1}^{1}f\Bigl(\tfrac{3}{2}t+\tfrac{3}{2}\Bigr)\,\frac{3}{2}\,dt.
Aplicando a fórmula de três pontos com
f(x)=x^{5}-3x^{2}, \quad x(-a)=\tfrac{3}{2}(1 - a), \quad x(0)=\tfrac{3}{2}, \quad x(a)=\tfrac{3}{2}(1 + a),
obtém-se
\int_{0}^{3}\bigl(x^{5}-3x^{2}\bigr)\,dx = \frac{3}{2}\,\frac{1}{9}\Bigl[ 5\,f\bigl(x(-a)\bigr) +8\,f\bigl(x(0)\bigr) +5\,f\bigl(x(a)\bigr) \Bigr].

Passo 3

Calculando explicitamente f nos três nós e simplificando (sabendo que a fórmula é exata até grau 5), resulta
\int_{0}^{3}\bigl(x^{5}-3x^{2}\bigr)\,dx = \left[\frac{x^{6}}{6}-x^{3}\right]_{0}^{3} = \frac{3^{6}}{6}-3^{3} = \frac{729}{6}-27 =121{,}5-27 =94{,}5.

Passo 4

Para o método de Simpson composto com passo h em [0,3], o erro satisfaz
\bigl|E_{S}\bigr| \le \frac{b-a}{180}\,h^{4}\,\max_{x\in[0,3]}\bigl|f^{(4)}(x)\bigr|.
Aqui f^{(4)}(x)=120x, logo \max|f^{(4)}(x)|=120\cdot3=360. Substituindo b-a=3
\bigl|E_{S}\bigr|\le \frac{3}{180}\,h^{4}\cdot360 =6\,h^{4}.
Queremos 6\,h^{4}\le10^{-4}, isto é
h \le \bigl(10^{-4}/6\bigr)^{1/4}\approx6{,}39\times10^{-2}.

Resposta

(a) \displaystyle \int_{0}^{3}(x^{5}-3x^{2})\,dx=94{,}5.
(b) Para garantir erro abaixo de 10^{-4}, basta escolher
h \le \bigl(10^{-4}/6\bigr)^{1/4}\approx0{,}0639.
Em particular, tomando h=0{,}0625 (48 subintervalos) já atende à condição.

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