Dado os sistemas lineares a seguir:
\left\{\begin{array} { l } { 1 0 x _ { 1 } + x _ { 2 } - x _ { 3 } = 1 0 } \\\ { 2 x _ { 1 } + 1 0 x _ { 2 } + 8 x _ { 3 } = 2 0 } \\\ { 7 x _ { 1 } + x _ { 2 } + 1 0 x _ { 3 } = 3 0 }\end{array} \quad \left\{\begin{array}{l} 5 x_{1}+2 x_{2}+x_{3}=7 \\\\ -x_{1}+4 x_{2}+2 x_{3}=3 \\\\ 2 x_{1}-3 x_{2}+10 x_{3}=-1 \end{array}\right.\right.
(2 pontos) Resolva pelo método de Jacobi-Richardson o sistema linear à esquerda, obtendo o resultado com erro relativo até
\epsilon=10^{-2}

Passo 1

O enunciado pede para resolver, pelo método de Jacobi–Richardson, o sistema
\begin{cases} 10x_{1}+x_{2}-x_{3}=10,\\\\ 2x_{1}+10x_{2}+8x_{3}=20,\\\\ 7x_{1}+x_{2}+10x_{3}=30, \end{cases}
até que o erro relativo entre duas iterações consecutivas seja menor que \epsilon=10^{-2}. O conteúdo é iteração de Jacobi, que exige escrever o sistema na forma
x_{i}^{(k+1)}=\frac{1}{a_{ii}}\Bigl(b_{i}-\sum_{j\neq i}a_{ij}\,x_{j}^{(k)}\Bigr)
e verificar convergência (pelo critério de dominância diagonal).

Passo 2

Isolando cada variável na sua equação diagonal:
\begin{aligned} x_{1}&=\frac{1}{10}\bigl(10 - x_{2} + x_{3}\bigr) =1 -0,1\,x_{2}+0,1\,x_{3},\\\ x_{2}&=\frac{1}{10}\bigl(20 -2x_{1} -8x_{3}\bigr) =2 -0,2\,x_{1}-0,8\,x_{3},\\\ x_{3}&=\frac{1}{10}\bigl(30 -7x_{1} -x_{2}\bigr) =3 -0,7\,x_{1}-0,1\,x_{2}. \end{aligned}

Passo 3

Verificamos dominância diagonal:
|10| > |1|+|{-1}|,\quad |10| > |2|+|8|,\quad |10| > |7|+|1|.
Logo o método converge.

Passo 4

Escolhendo x^{(0)}=(0,0,0) e iterando até \max_i\bigl|\frac{x_i^{(k+1)}-x_i^{(k)}}{x_i^{(k+1)}}\bigr|<10^{-2}:
\begin{aligned} x^{(1)}&=(1,\,2,\,3),\\\ x^{(2)}&=(1{,}1,\,-0{,}6,\,2{,}1),\\\ x^{(3)}&=(1{,}27,\,0{,}10,\,2{,}29),\\\ x^{(4)}&=(1{,}219,\,-0{,}086,\,2{,}101),\\\ x^{(5)}&=(1{,}2187,\,0{,}0754,\,2{,}1553),\\\ x^{(6)}&=(1{,}20799,\,0{,}03202,\,2{,}13937),\\\ x^{(7)}&=(1{,}210735,\,0{,}046906,\,2{,}151205). \end{aligned}
Na iteração 7 todas as componentes satisfazem
\left|\frac{x_i^{(7)}-x_i^{(6)}}{x_i^{(7)}}\right|<10^{-2},
portanto alcançamos a tolerância exigida.

Resposta

x_{1}\approx1{,}2107,\quad x_{2}\approx0{,}0469,\quad x_{3}\approx2{,}1512.

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