Seja G=\left(S_{4}, \circ\right) o grupo das permutações de 4 elementos. Determine a ordem dos seguintes elementos do S_{4} : \left(\begin{array}{llll}1 & 2 & 3 & 4 \\\\ 4 & 1 & 2 & 3\end{array}\right). Passo 1O enunciado pede a ordem do elemento \sigma = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4\\\\ 4 & 1 & 2 & 3 \end{pmatrix} no grupo S_{4}. Para isso vamos: Decompor \sigma em ciclos. Usar que a ordem de uma permutação é o mínimo múltiplo comum \mathrm{m.m.c.} dos comprimentos de seus ciclos disjuntos. Passo 2Vamos começar seguindo onde cada elemento vai: \sigma(1)=4. \sigma(4)=3. \sigma(3)=2. \sigma(2)=1. Assim, o ciclo que contém 1 é (1\;\sigma(1)\;\sigma^2(1)\;\sigma^3(1)) =(1\;4\;3\;2). Não sobram outros pontos fora desse ciclo, logo \sigma = (1\;4\;3\;2) é um único ciclo de comprimento 4. Passo 3Uma vez que \sigma é um ciclo de comprimento 4, sua ordem é simplesmente 4, pois \sigma^4 = \text{id} e nenhum expoente menor que 4 dá a identidade. RespostaA ordem de \displaystyle\begin{pmatrix}1&2&3&4\\\ 4&1&2&3\end{pmatrix} em S_{4} é 4. MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETAExercícios relacionadosSeja G=\left(S_{4}, \circ\right) o grupo das permutações de 4 elementos. Determine a ordem dos seguintes elementos do S_{4} : \left(\begin{array}{llll}1 & 2 & 3 & 4 \\\\ 2 & 3 & 1 & 4\end{array}\right); Mostre que os grupos (\mathbb{R} \times \mathbb{R},+) e ( \mathbb{C},+ ) são isomorfos. Dica: utilize o homomorfismo \varphi: \mathbb{R} \times \mathbb{R} \longrightarrow \mathbb{C} tal que \varphi(a, b)=a+b \sqrt{-1} . Determine a Série de Taylor da função f(x)=x^{4}-x^{3}-\boldsymbol{\operatorname { c o s }}(x), com 4 termos, expandido-a em torno do ponto \mathrm{x}_{0}=0. Em seguida calcule o erro percentual \varepsilon_{p}(\%) nas abscissas apresentadas na tabela abaixo: x(\mathrm{rad}) f(x) F(x) \varepsilon_{p}(\%) 0 \pi / 16 \pi / 8 Dado o PVI abaixo, determine Y(\pi / 8) pelo Método de Runge-Kutta ( 2^{a} Ordem) considerando h=\pi / 16. Em seguida calcule o erro percentual \varepsilon \% conhecendo a solução analitica y(x)=\frac{x^{5}}{5}-\frac{x^{4}}{4}-\operatorname{sen}(x) : \left\{\begin{array}{l} y^{\prime}(x)=f(x) \\\ y(0)=0 \end{array}\right.