Seja G=\left(S_{4}, \circ\right) o grupo das permutações de 4 elementos. Determine a ordem dos seguintes elementos do S_{4} :
\left(\begin{array}{llll}1 & 2 & 3 & 4 \\\\ 4 & 1 & 2 & 3\end{array}\right).

Passo 1

O enunciado pede a ordem do elemento
\sigma = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4\\\\ 4 & 1 & 2 & 3 \end{pmatrix}
no grupo S_{4}. Para isso vamos:
  1. Decompor \sigma em ciclos.
  2. Usar que a ordem de uma permutação é o mínimo múltiplo comum \mathrm{m.m.c.} dos comprimentos de seus ciclos disjuntos.

Passo 2

Vamos começar seguindo onde cada elemento vai:
  • \sigma(1)=4.
  • \sigma(4)=3.
  • \sigma(3)=2.
  • \sigma(2)=1.
    Assim, o ciclo que contém 1 é
(1\;\sigma(1)\;\sigma^2(1)\;\sigma^3(1)) =(1\;4\;3\;2).
Não sobram outros pontos fora desse ciclo, logo
\sigma = (1\;4\;3\;2)
é um único ciclo de comprimento 4.

Passo 3

Uma vez que \sigma é um ciclo de comprimento 4, sua ordem é simplesmente 4, pois
\sigma^4 = \text{id}
e nenhum expoente menor que 4 dá a identidade.

Resposta

A ordem de \displaystyle\begin{pmatrix}1&2&3&4\\\ 4&1&2&3\end{pmatrix} em S_{4} é 4.

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