Determine a Série de Taylor da função f(x)=x^{4}-x^{3}-\boldsymbol{\operatorname { c o s }}(x), com 4 termos, expandido-a em torno do ponto \mathrm{x}_{0}=0. Em seguida calcule o erro percentual \varepsilon_{p}(\%) nas abscissas apresentadas na tabela abaixo:
x(\mathrm{rad}) f(x) F(x) \varepsilon_{p}(\%)
0
\pi / 16
\pi / 8

Passo 1

O enunciado pede a Série de Taylor (Maclaurin) de
f(x)=x^{4}-x^{3}-\cos(x)
em torno de \,x_{0}=0, com quatro termos, e depois quer o erro percentual \varepsilon_{p}(\%) comparando o valor exato \,f(x) e a aproximação truncada \,F(x) nos pontos \,x=0,\;\pi/16,\;\pi/8.

Passo 2

Começamos pela expansão em Maclaurin de \cos(x):
\cos(x)=1-\frac{x^{2}}{2}+\frac{x^{4}}{24}-\frac{x^{6}}{720}+\cdots.
Então
-\cos(x)=-1+\frac{x^{2}}{2}-\frac{x^{4}}{24}+\cdots.

Passo 3

Agora somamos x^{4}-x^{3} a essa série:
f(x)=x^{4}-x^{3}-\cos(x) =-1+\underbrace{0\cdot x}_{\text{sem termo linear}} +\frac{x^{2}}{2}-x^{3}+\Bigl(x^{4}-\frac{x^{4}}{24}\Bigr)+\cdots.
O coeficiente de x^{4} fica
1-\frac{1}{24}=\frac{23}{24}.

Passo 4

Aproximamos com quatro termos (constante até x^{4}):
F(x)=-1+\frac{x^{2}}{2}-x^{3}+\frac{23}{24}\,x^{4}.

Passo 5

Calculamos, para cada x,
f(x)=x^{4}-x^{3}-\cos(x), \quad F(x)=-1+\frac{x^{2}}{2}-x^{3}+\frac{23}{24}x^{4},
e o erro percentual
\varepsilon_{p}(\%)=\biggl|\frac{f(x)-F(x)}{f(x)}\biggr|\times100\%.
Numérico:
  • x =0:
    f(0)= -\cos(0)=-1,\\ F(0)=-1,\\ \varepsilon_{p}=0\%.
  • x= \pi/16 \approx0,19635:
    f\approx-0,986858,\\ F\approx-0,986855,\\ \varepsilon_{p}\approx0,00030\%.
  • x= \pi/8 \approx0,39270:
    f\approx-0,960563,\\ F\approx-0,960554,\\ \varepsilon_{p}\approx0,00094\%.

Resposta

x (rad) f(x) F(x) εₚ (%)
0 −1,000000 −1,000000 0,00000\pi/16 −0,986858 −0,986855 0,00030\pi/8 −0,960563 −0,960554 0,00094

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