Dado o PVI a seguir, considere os passos de intgração h=0.5,0.25, e 0.1 .
\left\{\begin{array}{c} x^{\prime}=4-2 x \\\ x(0)=1 \end{array}\right.
(a) Encontre a solução exata.
(b) Aplicando os métodos de Euler e Euler Modificado, encontre uma aproximação para x(2) para cada passo dado. Compare os resultados obtidos com o da solução exata.

Passo 1

O problema é o PVI
\begin{cases} x' = 4 - 2x,\\\ x(0)=1, \end{cases}
que é uma EDO linear de 1ª ordem. Vamos (a) obter a solução exata usando fator integrante e (b) aproximar x(2) pelos métodos de Euler explícito e de Euler Modificado (Heun), para h=0,5, 0,25 e 0,1, comparando com a solução exata.

Passo 2

Escrevendo em forma padrão,
x' + 2x = 4.
O fator integrante é \mu(t)=e^{\int 2\,dt}=e^{2t}. Multiplicando a EDO por \mu,
\bigl(x\,e^{2t}\bigr)' = 4\,e^{2t}.
Integrando em t,
x\,e^{2t} = 2\,e^{2t} + C \quad\Longrightarrow\quad x(t) = 2 + C\,e^{-2t}.
Usando x(0)=1 1 = 2 + C, logo C=-1. Portanto
x(t) = 2 - e^{-2t}.

Passo 3

Em t=2 a solução exata vale
x(2) = 2 - e^{-4} \approx 2 - 0,018315 = 1,981685.

Passo 4

No método de Euler explícito usamos
x_{n+1} = x_n + h\bigl(4 - 2x_n\bigr).
Esse esquema pode ser reescrito como
x_{n+1} = (1-2h)\,x_n + 4h,
cuja solução recursiva é
x_n = 2 - \bigl(1-2h\bigr)^n,
pois x_0=1. Em t=2 temos n = 2/h, logo
x(2)\approx x_{N} = 2 - \bigl(1-2h\bigr)^{2/h}.
Para cada h:
\begin{aligned} h=0,5:\;&1-2h=0,\;N=4\quad\Longrightarrow\quad x(2)=2 - 0^4 = 2,\\\ h=0,25:\;&1-2h=0,5,\;N=8\quad\Longrightarrow\quad x(2)=2 - 0,5^8 = 1,996094,\\\ h=0,1:\;&1-2h=0,8,\;N=20\quad\Longrightarrow\quad x(2)=2 - 0,8^{20} \approx 1,988470. \end{aligned}

Passo 5

No Euler Modificado (Heun) calculamos
k_1 = 4 - 2x_n, \quad k_2 = 4 - 2\bigl(x_n + h\,k_1\bigr), \quad x_{n+1} = x_n + \tfrac{h}{2}(k_1 + k_2).
Isso gera o esquema linear
x_{n+1} = \bigl(1 - 2h + 2h^2\bigr)\,x_n + 4h(1-h),
cuja solução é
x_n = 2 - \bigl(1 - 2h + 2h^2\bigr)^n.
Em t=2 ( n=2/h):
\begin{aligned} h=0,5:\;&1 - 2h + 2h^2 = 0,5,\;N=4\quad\Longrightarrow\quad x(2)=2 - 0,5^4 = 1,937500,\\\ h=0,25:\;&1 - 2h + 2h^2 = 0,625,\;N=8\quad\Longrightarrow\quad x(2)=2 - 0,625^8 \approx 1,976710,\\\ h=0,1:\;&1 - 2h + 2h^2 = 0,82,\;N=20\quad\Longrightarrow\quad x(2)=2 - 0,82^{20} \approx 1,981120. \end{aligned}

Passo 6

Comparando as aproximações com x(2)\approx1,981685:
  • Euler explícito superestima e melhora ao diminuir h.
  • Euler Modificado subestima para h=0,5, mas convergindo rápido para o valor exato; em h=0,1 já fica muito próximo.

Resposta

(a) A solução exata é
x(t) = 2 - e^{-2t}.
(b) Em t=2, a solução exata vale
x(2) = 2 - e^{-4} \approx 1,981685.
Método de Euler explícito:
h=0,5\colon x(2)=2,000000,
h=0,25\colon x(2)=1,996094,
h=0,1\colon x(2)\approx1,988470.
Método de Euler Modificado:
h=0,5\colon x(2)=1,937500,
h=0,25\colon x(2)\approx1,976710,
h=0,1\colon x(2)\approx1,981120.

Exercícios relacionados