Dado o PVI a seguir, considere os passos de intgração
, e 0.1 .
(a) Encontre a solução exata.
(b) Aplicando os métodos de Euler e Euler Modificado, encontre uma aproximação para
para cada passo dado. Compare os resultados obtidos com o da solução exata.
(b) Aplicando os métodos de Euler e Euler Modificado, encontre uma aproximação para
Passo 1
O problema é o PVI
que é uma EDO linear de 1ª ordem. Vamos (a) obter a solução exata usando fator integrante e (b) aproximar
pelos métodos de Euler explícito e de Euler Modificado (Heun), para
,
e
, comparando com a solução exata.
Passo 2
Escrevendo em forma padrão,
O fator integrante é
. Multiplicando a EDO por
,
Integrando em
,
Usando
dá
, logo
. Portanto
Passo 3
Em
a solução exata vale
Passo 4
No método de Euler explícito usamos
Esse esquema pode ser reescrito como
cuja solução recursiva é
pois
. Em
temos
, logo
Para cada
:
Passo 5
No Euler Modificado (Heun) calculamos
Isso gera o esquema linear
cuja solução é
Em
(
):
Passo 6
Comparando as aproximações com
:
- Euler explícito superestima e melhora ao diminuir
. - Euler Modificado subestima para
, mas convergindo rápido para o valor exato; em já fica muito próximo.
Resposta
(a) A solução exata é
(b) Em
, a solução exata vale
Método de Euler explícito:
Método de Euler Modificado: