Explique geometricamente o funcionamento do método de Runge-Kutta, 2a ordem.
Passo 1
O enunciado pede para entender geometricamente o método de Runge–Kutta de segunda ordem (RK
) para resolver o problema de valor inicial
O que vamos usar: interpretação do campo de direções de
e a ideia de construir uma reta que melhor se ajusta à verdadeira curva solução em cada intervalo.
Passo 2
Dividimos o intervalo
em um passo de tamanho
. Definimos a primeira inclinação
que é a direção da tangente no ponto
. Geometricamente, é o vetor que mostra como a curva cresce naquele ponto.
Passo 3
Usamos
para dar um “salto ao meio do passo” e aproximar a posição no ponto médio:
No campo de direções, isso corresponde a seguir a reta tangente inicial até o ponto médio do intervalo.
Passo 4
Aí avaliamos a inclinação nesse ponto médio:
Geometricamente,
é a nova direção da tangente calculada no meio do passo, onde a reta inicial se aproximou do campo de direções.
Passo 5
Finalmente, usamos
para avançar o passo inteiro, construindo a aproximação
Em vez de seguir a inclinação inicial
por todo o passo, usamos a inclinação corrigida
, que reflete melhor a curvatura real da solução.
Passo 6
Geometricamente, RK
(o método do ponto-médio) faz isto a cada iteração:
. Desenha a tangente em
e segue até o meio do passo.
. No meio, desenha a nova tangente e segue essa reta para todo o passo.
Dessa forma, a reta final fica mais “encaixada” no campo de direções, reduzindo o erro de aproximação e garantindo ordem de convergência .
Dessa forma, a reta final fica mais “encaixada” no campo de direções, reduzindo o erro de aproximação e garantindo ordem de convergência
Resposta
O método RK
constrói em cada passo uma reta que primeiro usa a inclinação em
para chegar ao ponto médio e, em seguida, usa a inclinação nesse ponto para avançar até
. Isso faz com que a aproximação siga melhor o campo de direções e seja de segunda ordem.