Explique geometricamente o funcionamento do método de Runge-Kutta, 2a ordem.

Passo 1

O enunciado pede para entender geometricamente o método de Runge–Kutta de segunda ordem (RK 2) para resolver o problema de valor inicial
y' = f(x,y),\quad y(x_{0}) = y_{0}.
O que vamos usar: interpretação do campo de direções de f e a ideia de construir uma reta que melhor se ajusta à verdadeira curva solução em cada intervalo.

Passo 2

Dividimos o intervalo [x_{n},x_{n+1}] em um passo de tamanho h = x_{n+1}-x_{n}. Definimos a primeira inclinação
k_{1} = f\bigl(x_{n},y_{n}\bigr),
que é a direção da tangente no ponto \bigl(x_{n},y_{n}\bigr). Geometricamente, é o vetor que mostra como a curva cresce naquele ponto.

Passo 3

Usamos k_{1} para dar um “salto ao meio do passo” e aproximar a posição no ponto médio:
x_{n}^{\ast} = x_{n} + \tfrac{h}{2}, \quad y_{n}^{\ast} = y_{n} + \tfrac{h}{2}\,k_{1}.
No campo de direções, isso corresponde a seguir a reta tangente inicial até o ponto médio do intervalo.

Passo 4

Aí avaliamos a inclinação nesse ponto médio:
k_{2} = f\bigl(x_{n}^{\ast},\,y_{n}^{\ast}\bigr).
Geometricamente, k_{2} é a nova direção da tangente calculada no meio do passo, onde a reta inicial se aproximou do campo de direções.

Passo 5

Finalmente, usamos k_{2} para avançar o passo inteiro, construindo a aproximação
y_{n+1} = y_{n} + h\,k_{2}.
Em vez de seguir a inclinação inicial k_{1} por todo o passo, usamos a inclinação corrigida k_{2}, que reflete melhor a curvatura real da solução.

Passo 6

Geometricamente, RK 2 (o método do ponto-médio) faz isto a cada iteração:
1. Desenha a tangente em (x_{n},y_{n}) e segue até o meio do passo.
2. No meio, desenha a nova tangente e segue essa reta para todo o passo.
Dessa forma, a reta final fica mais “encaixada” no campo de direções, reduzindo o erro de aproximação e garantindo ordem de convergência 2.

Resposta

O método RK 2 constrói em cada passo uma reta que primeiro usa a inclinação em (x_{n},y_{n}) para chegar ao ponto médio e, em seguida, usa a inclinação nesse ponto para avançar até x_{n+1}. Isso faz com que a aproximação siga melhor o campo de direções e seja de segunda ordem.

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