Sabendo que a matriz M=\left[\begin{array}{ccc}2+x & b & c \\\\ -3 & 3-y & a \\\\ 1 & 0 & 3 z\end{array}\right] é antissimétrica, qual o valor de (x+y+z) \cdot(a+b+c) ?

Passo 1

O enunciado dá a matriz
M = \begin{pmatrix} 2+x & b & c\\\\ -3 & 3-y & a\\\\ 1 & 0 & 3z \end{pmatrix}
e diz que ela é antissimétrica, isto é, satisfaz M^{T} = -M. Dessas condições seguem duas coisas importantes:
  1. Todos os elementos da diagonal devem ser zero.
  2. Para i\neq j, vale M_{ij} = -\,M_{ji}.

Passo 2

Impondo que os elementos da diagonal sejam zero:
2 + x = 0,\quad 3 - y = 0,\quad 3z = 0
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x = -2,\quad y = 3,\quad z = 0.

Passo 3

Agora usamos as relações fora da diagonal:
  • Para (i,j)=(1,2): b = M_{12} = -\,M_{21} = -(-3)=3,
  • Para (i,j)=(1,3): c = M_{13} = -\,M_{31} = -(1) = -1,
  • Para (i,j)=(2,3): a = M_{23} = -\,M_{32} = -(0) = 0.

Passo 4

Com todos os valores em mãos, calculamos
(x+y+z)\cdot(a+b+c) =(-2 + 3 + 0)\cdot(0 + 3 - 1) =1 \cdot 2 =2.

Resposta

2

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