Dado o seguinte sistema de equações lineares com determinante =35 e Número de Condição = 2.6458:
\begin{aligned} & x_{1}+x_{2}+2 x_{3}=27 \\\ & 3 x_{1}-5 x_{2}+x_{3}=-9 \\\ & 2 x_{1}+x_{2}-x_{3}=-1 \end{aligned}
Utilizando o método da Decomposição LU de Crout ou Doolittle, mostre como fica a Matriz L (triangular Inferior) a Matriz U (triangular superior), a solução y (L y=b) e a solução x(U x=y). Coloque os resultados na caixa de texto.

Passo 1

O enunciado dá um sistema linear com as três equações:
\begin{aligned} & x_{1}+x_{2}+2 x_{3}=27,\\[4pt] & 3 x_{1}-5 x_{2}+x_{3}=-9,\\[4pt] & 2 x_{1}+x_{2}-x_{3}=-1, \end{aligned}
e oferece também que o determinante da matriz dos coeficientes vale 35 e que o número de condição é 2{,}6458.
O que o exercício pede explicitamente:
  • Encontrar a matriz triangular inferior L;
  • Encontrar a matriz triangular superior U;
  • Resolver L y = b (achar y);
  • Resolver U x = y (achar x);
    onde b é o vetor dos termos independentes.
Dados relevantes que vamos usar (retirados do enunciado):
  • Sistema acima (então a matriz dos coeficientes é)
A=\begin{pmatrix} 1 & 1 & 2\\[4pt] 3 & -5 & 1\\[4pt] 2 & 1 & -1 \end{pmatrix}, \qquad b=\begin{pmatrix}27\\[4pt]-9\\[4pt]-1\end{pmatrix}.]

Passo 2

Escolha do método e visão geral (fórmulas e ideia usada).
Vou usar a decomposição do tipo Doolittle (é uma escolha prática porque deixa a diagonal de L com 1s, o que simplifica a substituição direta). Explico em termos simples:
Queremos A = LU, com
L=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\[4pt] \ell_{21} & 1 & 0\\[4pt] \ell_{31} & \ell_{32} & 1 \end{pmatrix}, \qquad U=\begin{pmatrix} u_{11} & u_{12} & u_{13}\\[4pt] 0 & u_{22} & u_{23}\\[4pt] 0 & 0 & u_{33} \end{pmatrix}.
As fórmulas padrão (para matrizes 3\times3) que vou usar, e que vêm do produto LU, são:
  • Primeira linha de U:
u_{1j}=a_{1j},\qquad j=1,2,3.
  • Primeira coluna de L (exceto o primeiro elemento que é 1):
\ell_{i1}=\frac{a_{i1}}{u_{11}},\qquad i=2,3.
  • Em geral, para um passo k (aqui só até 3):
u_{k j}=a_{k j}-\sum_{p=1}^{k-1}\ell_{k p}u_{p j}\quad (j\ge k),
\ell_{i k}=\frac{a_{i k}-\sum_{p=1}^{k-1}\ell_{i p}u_{p k}}{u_{k k}}\quad (i>k).
Vou aplicar essas fórmulas passo a passo com aritmética explicada, sem pular etapas.]

Passo 3

Calcular os elementos da primeira linha de U e da primeira coluna de L.
Da matriz A pegamos a_{11}=1, a_{12}=1, a_{13}=2, a_{21}=3, a_{31}=2.
Pelo Doolittle:
u_{11}=a_{11}=1.
Então
u_{12}=a_{12}=1,\qquad u_{13}=a_{13}=2.
Agora os \ell da primeira coluna:
\ell_{21}=\frac{a_{21}}{u_{11}}=\frac{3}{1}=3, \qquad \ell_{31}=\frac{a_{31}}{u_{11}}=\frac{2}{1}=2.
Registre o que já temos (parcialmente):
L=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\[4pt] 3 & 1 & 0\\[4pt] 2 & \ast & 1 \end{pmatrix}, \qquad U=\begin{pmatrix} 1 & 1 & 2\\[4pt] 0 & \ast & \ast\\[4pt] 0 & 0 & \ast \end{pmatrix},
onde os \ast serão calculados nos próximos passos.]

Passo 4

Calcular u_{22} e u_{23}, e depois \ell_{32}.
Usamos os elementos de A: a_{22}=-5, a_{23}=1, a_{32}=1.
Primeiro:
u_{22}=a_{22}-\ell_{21}u_{12}=(-5)-3\cdot 1 = -5-3=-8.
Em seguida:
u_{23}=a_{23}-\ell_{21}u_{13}=1-3\cdot 2 = 1-6=-5.
Agora calculamos \ell_{32} usando a fórmula com k=2:
\ell_{32}=\frac{a_{32}-\ell_{31}u_{12}}{u_{22}}=\frac{1-2\cdot 1}{-8}=\frac{-1}{-8}=\frac{1}{8}.
Atualizando:
L=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\[4pt] 3 & 1 & 0\\[4pt] 2 & \tfrac{1}{8} & 1 \end{pmatrix}, \qquad U=\begin{pmatrix} 1 & 1 & 2\\[4pt] 0 & -8 & -5\\[4pt] 0 & 0 & \ast \end{pmatrix}.]

Passo 5

Calcular u_{33}.
Usamos a fórmula:
u_{33}=a_{33}-\ell_{31}u_{13}-\ell_{32}u_{23}.
Pegando a_{33}=-1, já temos \ell_{31}=2, u_{13}=2, \ell_{32}=\tfrac{1}{8}, u_{23}=-5. Então
u_{33} = -1 - 2\cdot 2 - \tfrac{1}{8}\cdot(-5).
Calcule passo a passo:
-1 - 2\cdot 2 = -1 -4 = -5,
-\tfrac{1}{8}\cdot(-5) = +\tfrac{5}{8}.
Somando:
u_{33} = -5 + \tfrac{5}{8} = -\tfrac{40}{8} + \tfrac{5}{8} = -\tfrac{35}{8} = -4{,}375.
Agora temos as matrizes completas L e U. (Observação útil: o determinante de A é o produto das diagonais de U: 1\cdot(-8)\cdot(-35/8)=35, que confere com o enunciado.)

Passo 6

Resolver L y = b por substituição direta (forward substitution).
Escrevemos y=(y_1,y_2,y_3)^T e L y=b equivale ao sistema
\begin{aligned} & 1\cdot y_1 = b_1,\\[4pt] & 3\cdot y_1 + 1\cdot y_2 = b_2,\\[4pt] & 2\cdot y_1 + \tfrac{1}{8}\cdot y_2 + 1\cdot y_3 = b_3. \end{aligned}
Substituindo b_1=27, b_2=-9, b_3=-1:
Primeira equação:
y_1 = 27.
Segunda equação:
3\cdot 27 + y_2 = -9 \quad\Rightarrow\quad 81 + y_2 = -9 \quad\Rightarrow\quad y_2 = -90.
Terceira equação:
2\cdot 27 + \tfrac{1}{8}\cdot(-90) + y_3 = -1.
Calcule os termos:
2\cdot 27 = 54,\qquad \tfrac{1}{8}\cdot(-90) = -\tfrac{90}{8} = -11{,}25.
Então
54 -11{,}25 + y_3 = -1 \quad\Rightarrow\quad 42{,}75 + y_3 = -1 \quad\Rightarrow\quad y_3 = -43{,}75.
Em fração exata, y_3 = -\tfrac{175}{4}.
Portanto
y=\begin{pmatrix}27\\[4pt]-90\\[4pt]-\tfrac{175}{4}\end{pmatrix}.]

Passo 7

Resolver U x = y por retro-substituição (back substitution).
Escrevendo x=(x_1,x_2,x_3)^T, o sistema U x = y é
\begin{aligned} & u_{11} x_1 + u_{12} x_2 + u_{13} x_3 = y_1,\\[4pt] & u_{22} x_2 + u_{23} x_3 = y_2,\\[4pt] & u_{33} x_3 = y_3. \end{aligned}
Substituímos os valores já conhecidos:
u_{33} = -\tfrac{35}{8},\quad u_{22}=-8,\quad u_{23}=-5,\quad u_{11}=1,\;u_{12}=1,\;u_{13}=2,
e y do passo anterior.
Primeiro (última equação):
-\tfrac{35}{8}\, x_3 = -\tfrac{175}{4}.
Isolando x_3:
x_3 = \frac{-\tfrac{175}{4}}{-\tfrac{35}{8}} = \left(-\tfrac{175}{4}\right)\cdot\left(-\tfrac{8}{35}\right).
Simplificando:
\frac{175}{35}=5,\qquad \frac{8}{4}=2,\quad\Rightarrow\quad x_3 = 5\cdot 2 = 10.
Agora a segunda equação:
-8\, x_2 + (-5)\cdot 10 = -90.
Isto é
-8 x_2 -50 = -90 \quad\Rightarrow\quad -8 x_2 = -40 \quad\Rightarrow\quad x_2 = 5.
Finalmente a primeira equação:
1\cdot x_1 + 1\cdot 5 + 2\cdot 10 = 27 \quad\Rightarrow\quad x_1 +5 +20 =27 \quad\Rightarrow\quad x_1 =2.
Portanto a solução do sistema é
x=\begin{pmatrix}2\\[4pt]5\\[4pt]10\end{pmatrix}.]

Resposta

L=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\[4pt] 3 & 1 & 0\\[4pt] 2 & \tfrac{1}{8} & 1 \end{pmatrix}
U=\begin{pmatrix} 1 & 1 & 2\\[4pt] 0 & -8 & -5\\[4pt] 0 & 0 & -\tfrac{35}{8} \end{pmatrix}
y=\begin{pmatrix}27\\[4pt]-90\\[4pt]-\tfrac{175}{4}\end{pmatrix}
x=\begin{pmatrix}2\\[4pt]5\\[4pt]10\end{pmatrix}]

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