Encontrar a matriz a inversa da matriz A=\left(\begin{array}{ccc}1 & 2 & 3 \\\\ 0 & 1 & 0 \\\\ 3 & 2 & 1\end{array}\right) usando o método da decomposição LU.

Passo 1

O enunciado pede a inversa da matriz
A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3\\\\ 0 & 1 & 0\\\\ 3 & 2 & 1 \end{pmatrix}
usando a decomposição LU (método de Doolittle). Vamos fatorar A em L\,U onde L é triangular inferior com 1’s na diagonal e U é triangular superior, e depois usar substituição para resolver A\,x=e_i para i=1,2,3.

Passo 2

Determinação de L e U. Partindo de
A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3\\\\ 0 & 1 & 0\\\\ 3 & 2 & 1 \end{pmatrix},
fazemos Doolittle:
  1. u_{11}=1,\;u_{12}=2,\;u_{13}=3.
  2. l_{21}=0/1=0,\;l_{31}=3/1=3.
  3. Atualizamos a terceira linha: (3,2,1)-3\,(1,2,3)=(0,-4,-8).
  4. Pivot secundário u_{22}=1,\;u_{23}=0.
  5. l_{32}=-4/1=-4.
  6. Atualizamos linha 3: (0,-4,-8)-(-4)\,(0,1,0)=(0,0,-8).
    Então
L = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\\\ 0 & 1 & 0\\\\ 3 & -4 & 1 \end{pmatrix}, \quad U = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3\\\\ 0 & 1 & 0\\\\ 0 & 0 & -8 \end{pmatrix}.

Passo 3

Resolvemos L\,y^{(i)}=e_i por substituição direta:
  1. Para e_1=(1,0,0)^T:
    y^{(1)}=(y_1,y_2,y_3) satisfaz
    y_1=1,\;y_2=0,\;3y_1-4y_2+y_3=0\implies y_3=-3.
    Logo y^{(1)}=(1,0,-3)^T.
  2. Para e_2=(0,1,0)^T:
    y_1=0,\;y_2=1,\;3\cdot0-4\cdot1+y_3=0\implies y_3=4.
    Logo y^{(2)}=(0,1,4)^T.
  3. Para e_3=(0,0,1)^T:
    y_1=0,\;y_2=0,\;3\cdot0-4\cdot0+y_3=1\implies y_3=1.
    Logo y^{(3)}=(0,0,1)^T.

Passo 4

Resolvemos U\,x^{(i)}=y^{(i)} por substituição regressiva:
  1. Para y^{(1)}=(1,0,-3)^T:
    -8x_3=-3\implies x_3=\frac{3}{8}, x_2=0, x_1+2x_2+3x_3=1\implies x_1-\,\frac{9}{8}=1\implies x_1=-\frac{1}{8}.
    Logo x^{(1)}=\bigl(-\tfrac{1}{8},0,\tfrac{3}{8}\bigr)^T.
  2. Para y^{(2)}=(0,1,4)^T:
    -8x_3=4\implies x_3=-\tfrac{1}{2}, x_2=1, x_1+2\cdot1+3(-\tfrac12)=0\implies x_1=-\tfrac12.
    Logo x^{(2)}=\bigl(-\tfrac{1}{2},1,-\tfrac{1}{2}\bigr)^T.
  3. Para y^{(3)}=(0,0,1)^T:
    -8x_3=1\implies x_3=-\tfrac{1}{8}, x_2=0, x_1+3(-\tfrac18)=0\implies x_1=\tfrac{3}{8}.
    Logo x^{(3)}=\bigl(\tfrac{3}{8},0,-\tfrac{1}{8}\bigr)^T.

Resposta

A^{-1} = \begin{pmatrix} -\tfrac{1}{8} & -\tfrac{1}{2} & \tfrac{3}{8}\\[6pt] 0 & 1 & 0\\[6pt] \tfrac{3}{8} & -\tfrac{1}{2} & -\tfrac{1}{8} \end{pmatrix}.]

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