usando a decomposição LU (método de Doolittle). Vamos fatorar A em L\,U onde L é triangular inferior com 1’s na diagonal e U é triangular superior, e depois usar substituição para resolver A\,x=e_i para i=1,2,3.
Resolvemos L\,y^{(i)}=e_i por substituição direta:
Para e_1=(1,0,0)^T: y^{(1)}=(y_1,y_2,y_3) satisfaz y_1=1,\;y_2=0,\;3y_1-4y_2+y_3=0\implies y_3=-3.
Logo y^{(1)}=(1,0,-3)^T.
Para e_2=(0,1,0)^T: y_1=0,\;y_2=1,\;3\cdot0-4\cdot1+y_3=0\implies y_3=4.
Logo y^{(2)}=(0,1,4)^T.
Para e_3=(0,0,1)^T: y_1=0,\;y_2=0,\;3\cdot0-4\cdot0+y_3=1\implies y_3=1.
Logo y^{(3)}=(0,0,1)^T.
Passo 4
Resolvemos U\,x^{(i)}=y^{(i)} por substituição regressiva:
Para y^{(1)}=(1,0,-3)^T: -8x_3=-3\implies x_3=\frac{3}{8}, x_2=0, x_1+2x_2+3x_3=1\implies x_1-\,\frac{9}{8}=1\implies x_1=-\frac{1}{8}.
Logo x^{(1)}=\bigl(-\tfrac{1}{8},0,\tfrac{3}{8}\bigr)^T.
Para y^{(2)}=(0,1,4)^T: -8x_3=4\implies x_3=-\tfrac{1}{2}, x_2=1, x_1+2\cdot1+3(-\tfrac12)=0\implies x_1=-\tfrac12.
Logo x^{(2)}=\bigl(-\tfrac{1}{2},1,-\tfrac{1}{2}\bigr)^T.
Para y^{(3)}=(0,0,1)^T: -8x_3=1\implies x_3=-\tfrac{1}{8}, x_2=0, x_1+3(-\tfrac18)=0\implies x_1=\tfrac{3}{8}.
Logo x^{(3)}=\bigl(\tfrac{3}{8},0,-\tfrac{1}{8}\bigr)^T.