Dado o sistema linear
r 4 x1+x2+6 x3=1 4 x1-x2+2 x3=2 -x1+5 x2+3 x3=3
mostre que é possível reordenar as equações acima (trocando linhas) de modo a fazer com que o critério de Sassenfeld seja satisfeito.

Passo 1

Temos o sistema
$$\begin{array}{r}4x_1 + x_2 + 6x_3 = 1 \
4x_1 - x_2 + 2x_3 = 2 \
  • x_1 + 5x_2 + 3x_3 = 3\end{array} r4x1 + x2 + 6x3 = 1 4x1 - x2 + 2x3 = 2 - x1 + 5x2 + 3x3 = 3úééêéçã
\beta_i = \frac{1}{|a_{ii}|}\Bigl(\sum_{j=1}^{i-1}|a_{ij}|,\beta_j + \sum_{j=i+1}^n|a_{ij}|\Bigr)
$$

Passo 2

Primeiro, teste na ordem original das equações e veja que não satisfaz:
Para a primeira linha (equação 1) temos a11=4 e
beta1 = |1| + |6|4 = tfrac74 > 1,
logo já falha o critério.

Passo 3

Vamos então tentar uma reordenação que coloque primeiro uma linha com divisor grande. Escolhemos a equação 2 em primeiro lugar, depois a 3 e por fim a 1. A nova ordem é
r4x1 - x2 + 2x3 = 2 - x1 + 5x2 + 3x3 = 3 4x1 + x2 + 6x3 = 1

Passo 4

Calculemos os betai nessa ordem:
Para a nova linha 1 (antiga eq. 2) com a11=4:
beta1 = |-1| + |2|4 = 34 < 1.
Para a nova linha 2 (antiga eq. 3) com a22=5:
beta2 = |-1|,beta1 + |3|5 = 1cdot(3/4) + 35 = 15/45 = tfrac34 < 1.
Para a nova linha 3 (antiga eq. 1) com a33=6:
beta3 = |4|,beta1 + |1|,beta26 = 4cdot(3/4) + 1cdot(3/4)6 = 15/46 = tfrac58 < 1.

Passo 5

Como max(beta1,beta2,beta3) = tfrac34 < 1, o critério de Sassenfeld é satisfeito com essa reordenação.

Resposta

Basta permutar as linhas na ordem (2, 3, 1), ou seja:
r4x1 - x2 + 2x3 = 2 - x1 + 5x2 + 3x3 = 3 4x1 + x2 + 6x3 = 1
Nesse arranjo os coeficientes de Sassenfeld são todos menores que 1, garantindo o critério.

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