Dado o sistema linear
mostre que é possível reordenar as equações acima (trocando linhas) de modo a fazer com que o critério de Sassenfeld seja satisfeito.
Passo 1
Temos o sistema
$$\begin{array}{r}4x_1 + x_2 + 6x_3 = 1 \
4x_1 - x_2 + 2x_3 = 2 \
4x_1 - x_2 + 2x_3 = 2 \
- x_1 + 5x_2 + 3x_3 = 3\end{array}
\beta_i = \frac{1}{|a_{ii}|}\Bigl(\sum_{j=1}^{i-1}|a_{ij}|,\beta_j + \sum_{j=i+1}^n|a_{ij}|\Bigr)
$$
Passo 2
Primeiro, teste na ordem original das equações e veja que não satisfaz:
Para a primeira linha (equação 1) temos e
,
logo já falha o critério.
Para a primeira linha (equação 1) temos
logo já falha o critério.
Passo 3
Vamos então tentar uma reordenação que coloque primeiro uma linha com divisor grande. Escolhemos a equação 2 em primeiro lugar, depois a 3 e por fim a 1. A nova ordem é
Passo 4
Calculemos os
nessa ordem:
Para a nova linha 1 (antiga eq. 2) com :
.
Para a nova linha 2 (antiga eq. 3) com :
.
Para a nova linha 3 (antiga eq. 1) com :
.
Para a nova linha 1 (antiga eq. 2) com
Para a nova linha 2 (antiga eq. 3) com
Para a nova linha 3 (antiga eq. 1) com
Passo 5
Como
, o critério de Sassenfeld é satisfeito com essa reordenação.
Resposta
Basta permutar as linhas na ordem (2, 3, 1), ou seja:
Nesse arranjo os coeficientes de Sassenfeld são todos menores que 1, garantindo o critério.