Usado o método de Euler, encontrar soluções aproximadas para os seguintes problemas:
Sendo y^{\prime}(x)=x-y(x)+2, y(0)=2, encontrar aproximações para y(x) no intervalo I=[0,1], usando passo h=0.1.

Passo 1

O enunciado pede que a gente use o método de Euler explícito para aproximar a solução da EDO de primeira ordem
y'(x)=x - y(x) + 2,\quad y(0)=2
no intervalo I=[0,1] com passo h=0,1. O conteúdo envolvido é método numérico para EDOs, e vamos precisar da fórmula de Euler para construir as aproximações sucessivas.

Passo 2

O método de Euler explícito diz que, a cada nó x_n, a aproximação y_{n+1} é dada por
y_{n+1} \;=\; y_n \;+\; h\;f(x_n,y_n),
onde f(x,y)=x-y+2. Aqui x_n = n\,h e y_0=2. Logo
y_{n+1} = y_n + 0,1\bigl(x_n - y_n + 2\bigr).

Passo 3

Aplicando essa fórmula de n=0 até n=10 (que corresponde a x=1), obtemos:
\begin{array}{c|c|c} n & x_n = 0{,}1\,n & y_n \\\ \hline 0 & 0{,}0 & 2{,}0000 \\\\ 1 & 0{,}1 & 2{,}0000 \\\\ 2 & 0{,}2 & 2{,}0100 \\\\ 3 & 0{,}3 & 2{,}0290 \\\\ 4 & 0{,}4 & 2{,}0561 \\\\ 5 & 0{,}5 & 2{,}0905 \\\\ 6 & 0{,}6 & 2{,}1314 \\\\ 7 & 0{,}7 & 2{,}1783 \\\\ 8 & 0{,}8 & 2{,}2305 \\\\ 9 & 0{,}9 & 2{,}2874 \\\\ 10 & 1{,}0 & 2{,}3487 \\\ \end{array}
Para cada linha usamos
y_{n+1}=y_n + 0,1\bigl(x_n - y_n + 2\bigr),
por exemplo, de n=2 para n=3:
y_3 = 2{,}0100 + 0,1\bigl(0{,}2 - 2{,}0100 + 2\bigr) = 2{,}0100 + 0,1\cdot 0{,}19 = 2{,}0290.

Resposta

As aproximações \{y_n\} nos pontos x_n=n\cdot0,1 são:
y(0{,}0)\approx2{,}0000
y(0{,}1)\approx2{,}0000
y(0{,}2)\approx2{,}0100
y(0{,}3)\approx2{,}0290
y(0{,}4)\approx2{,}0561
y(0{,}5)\approx2{,}0905
y(0{,}6)\approx2{,}1314
y(0{,}7)\approx2{,}1783
y(0{,}8)\approx2{,}2305
y(0{,}9)\approx2{,}2874
y(1{,}0)\approx2{,}3487

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