Dados a circunferência de equação x^{2}+y^{2}=4 e a reta de equação x+y-3=0, é correto afirmar que:
(A) A reta e a circunferência têm apenas o ponto (\sqrt{2}, \sqrt{2}) em comum.
(B) A reta e a circunferência se intersectam nos pontos (1, \sqrt{3}) e (0,3).
(C) A reta e a circunferência se intersectam nos pontos (2,0) e (4,-1).
(D) A reta e a circunferência se intersectam nos pontos (-\sqrt{2},-\sqrt{2}) e (1,2).
(E) Não existem pontos de interseção entre a circunferência e a reta dada.

Passo 1

O enunciado dá a circunferência de equação
x^{2} + y^{2} = 4
e a reta de equação
x + y - 3 = 0.
Queremos encontrar os pontos de interseção, ou mostrar que não existem. Para isso, vamos usar o método de substituição, que consiste em isolar uma variável na reta e substituir na equação da circunferência, obtendo assim uma equação em uma única variável.

Passo 2

Da equação da reta \,x + y - 3 = 0, isolamos y:
y = 3 - x.

Passo 3

Substituímos y = 3 - x na equação da circunferência \,x^{2} + y^{2} = 4:
x^{2} + (3 - x)^{2} = 4.
Expandindo o quadrado:
x^{2} + (9 - 6x + x^{2}) = 4
2x^{2} - 6x + 9 = 4.

Passo 4

Reescrevendo em forma padrão de equação quadrática:
2x^{2} - 6x + 5 = 0.
Calculamos o discriminante \Delta:
\Delta = (-6)^{2} - 4 \cdot 2 \cdot 5 = 36 - 40 = -4.
Como \Delta < 0, a equação não tem raízes reais. Logo, não há valor real de x que satisfaça simultaneamente as duas equações.

Passo 5

Não havendo soluções reais para x, não existem pontos de interseção entre a reta e a circunferência no plano real.

Resposta

(E) Não existem pontos de interseção entre a circunferência e a reta dada.

Exercícios relacionados