Usando o método de Jacobi-Richardson, obter a solução do sistema linear:
\left\{\begin{array}{l} 10 x_{1}+x_{2}-x_{3}=10 \\\ x_{1}+10 x_{2}+x_{3}=12 \\\\ 2 x_{1}-x_{2}+10 x_{3}=11 \end{array}\right.
com três casas decimais corretas.

Passo 1

O enunciado dá o sistema linear
10x_{1}+x_{2}-x_{3}=10, \quad x_{1}+10x_{2}+x_{3}=12, \quad 2x_{1}-x_{2}+10x_{3}=11
e pede a solução pelo método de Jacobi–Richardson com três casas decimais corretas. Para isso precisamos (1) verificar a convergência, (2) escrever as fórmulas iterativas de Jacobi e (3) iterar até que os valores convirjam a três decimais.

Passo 2

Verificamos a convergência checando a dominância diagonal. As equações têm coeficientes principais 10,10,10 e somas das não-diagonais
|1|+|{-1}|=2<10, \quad |1|+|1|=2<10, \quad |2|+|{-1}|=3<10,
logo há dominância estrita em cada linha e o método de Jacobi converge.

Passo 3

Isolamos cada incógnita para obter as fórmulas de iteração
x_{1}^{(k+1)} = \frac{10 - x_{2}^{(k)} + x_{3}^{(k)}}{10}, \quad x_{2}^{(k+1)} = \frac{12 - x_{1}^{(k)} - x_{3}^{(k)}}{10}, \quad x_{3}^{(k+1)} = \frac{11 - 2x_{1}^{(k)} + x_{2}^{(k)}}{10}.

Passo 4

Tomamos o palpite inicial
x^{(0)} = (0,\,0,\,0).
Aplicando k=0\to1, obtemos
x^{(1)} = \bigl(1,\;1{,}2,\;1{,}1\bigr).

Passo 5

Continuando as iterações:
Para k=1\to2,
x^{(2)} = \bigl(0{,}99,\;0{,}99,\;1{,}02\bigr).
Para k=2\to3,
x^{(3)} = \bigl(1{,}003,\;0{,}999,\;1{,}001\bigr).

Passo 6

Mais duas iterações para verificar a estabilidade a três casas:
Para k=3\to4,
x^{(4)} = \bigl(1{,}0002,\;0{,}9996,\;0{,}9993\bigr).
Para k=4\to5,
x^{(5)} = \bigl(0{,}99997,\;1{,}00005,\;0{,}99992\bigr).

Passo 7

Comparando x^{(4)} e x^{(5)} vemos que, arredondando a três casas decimais, todas as componentes valem 1{,}000. Assim atingimos a precisão desejada.

Resposta

x_{1}=1{,}000,\quad x_{2}=1{,}000,\quad x_{3}=1{,}000.

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