Questão 1:

Considere o modelo presa-predador
\begin{aligned} x^{\prime}(t) & =10 x(t)[1-y(t)] \\\ y^{\prime}(t) & =y(t)[x(t)-1] \end{aligned}
(a) Escreva a fórmula de Euler Explícito com tamanho de passo \Delta t para o sistema de EDOs acima.
(b) Usando \Delta t=0.1 e partindo da condição inicial x_{0}=3 e y_{0}=1 em t=0, avance dois passos no tempo com o método de Euler Explícito, ou seja, aproxime y_{2} e x_{2}.
(c) Escreva o método de Euler Implícito, para o sistema de EDOs acima, deduzindo o sistema de equações que deve ser resolvido a cada passo de tempo.

Passo 1

O enunciado apresenta o sistema presa-predador
\begin{aligned} x' &= 10\,x\,(1 - y),\\\ y' &= y\,(x - 1), \end{aligned}
e pede: (a) a fórmula do método de Euler Explícito de passo \Delta t; (b) com \Delta t=0,1 e (x_0,y_0)=(3,1), avançar dois passos para obter x_2 e y_2; (c) a fórmula do método de Euler Implícito, montando o sistema a ser resolvido em cada passo.

Passo 2

No método de Euler Explícito, aproximamos
x_{n+1} = x_n + \Delta t\;f_1\bigl(x_n,y_n\bigr),\quad y_{n+1} = y_n + \Delta t\;f_2\bigl(x_n,y_n\bigr),
onde f_1(x,y)=10\,x\,(1-y) e f_2(x,y)=y\,(x-1). Portanto
x_{n+1} = x_n + \Delta t\;10\,x_n\,(1-y_n),
y_{n+1} = y_n + \Delta t\;y_n\,(x_n-1).

Passo 3

Aplicando \Delta t=0,1 e (x_0,y_0)=(3,1):
Para n=0
x_1 = 3 + 0,1\cdot10\cdot3\,(1-1) = 3 + 0 = 3,
y_1 = 1 + 0,1\cdot1\,(3-1) = 1 + 0,2 = 1,2.
Para n=1
x_2 = 3 + 0,1\cdot10\cdot3\,(1-1,2) = 3 + 1\cdot3\cdot(-0,2) = 3 - 0,6 = 2,4,
y_2 = 1,2 + 0,1\cdot1,2\,(3-1) = 1,2 + 0,1\cdot1,2\cdot2 = 1,2 + 0,24 = 1,44.

Passo 4

No método de Euler Implícito usamos as derivadas avaliadas em (x_{n+1},y_{n+1}), gerando o sistema
x_{n+1} = x_n + \Delta t\;10\,x_{n+1}\,(1-y_{n+1}),
y_{n+1} = y_n + \Delta t\;y_{n+1}\,(x_{n+1}-1).
Em cada passo devemos resolver simultaneamente essas duas equações para x_{n+1} e y_{n+1}.

Resposta

(a)
x_{n+1} = x_n + \Delta t\;10\,x_n\,(1-y_n),\quad y_{n+1} = y_n + \Delta t\;y_n\,(x_n-1).
(b)
\displaystyle x_2 \approx 2,4,\quad y_2 \approx 1,44.
(c)
x_{n+1} = x_n + \Delta t\;10\,x_{n+1}\,(1-y_{n+1}),
y_{n+1} = y_n + \Delta t\;y_{n+1}\,(x_{n+1}-1).

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