Dados 3 conjuntos
e
, sabemos que:
i. Todo elemento de
também está em
ii.
dos elementos de
também estão em
iii. metade dos elementos de
também estão em
iv. 2/3 do total de elementos dos três conjuntos estão em
v. 10 elementos estão nos três conjuntos simultaneamente
vi.
tem 60 elementos
Quantos elementos estão em
?
i. Todo elemento de
ii.
iii. metade dos elementos de
iv. 2/3 do total de elementos dos três conjuntos estão em
v. 10 elementos estão nos três conjuntos simultaneamente
vi.
Quantos elementos estão em
Passo 1
Beleza, o enunciado diz que temos três conjuntos
,
e
com várias condições de quantos elementos aparecem nas interseções e no total. A matéria é Teoria de Conjuntos, mais especificamente cardinalidade, interseções e subconjuntos. Para resolver, vamos precisar:
- Entender que
. - Traduzir cada fração em fórmula de cardinalidade.
- Usar inclusão de subconjunto para simplificar interseções.
- Resolver para
e daí achar .
Passo 2
De (i) temos
. Isso significa que todo elemento de
também está em
, logo
Em outras palavras, não existe parte de
que esteja fora de
.
Passo 3
Da condição (ii) sabemos que “um terço dos elementos de
estão também em
”, ou seja
Mas como
, temos de fato
então
é exatamente o número de elementos nos três conjuntos, que a condição (v) diz ser 10.
Logo
Logo
Passo 4
O que o exercício pede é
, isto é os elementos de
que NÃO estão em
. Pela definição,
Substituindo
e
, vem
Resposta
O número de elementos em
é 20.