Dados 3 conjuntos A, B e C, sabemos que:
i. Todo elemento de C também está em B
ii. 1 / 3 dos elementos de C também estão em A
iii. metade dos elementos de B também estão em A
iv. 2/3 do total de elementos dos três conjuntos estão em A
v. 10 elementos estão nos três conjuntos simultaneamente
vi. B tem 60 elementos
Quantos elementos estão em C-A ?

Passo 1

Beleza, o enunciado diz que temos três conjuntos , e com várias condições de quantos elementos aparecem nas interseções e no total. A matéria é Teoria de Conjuntos, mais especificamente cardinalidade, interseções e subconjuntos. Para resolver, vamos precisar:
  1. Entender que .
  2. Traduzir cada fração em fórmula de cardinalidade.
  3. Usar inclusão de subconjunto para simplificar interseções.
  4. Resolver para e daí achar .

Passo 2

De (i) temos |Bcap C| = |C| . Isso significa que todo elemento de também está em , logo
Em outras palavras, não existe parte de que esteja fora de .

Passo 3

Da condição (ii) sabemos que “um terço dos elementos de |Acap C| = tfrac13,|C| estão também em Acap C = Acap Bcap C, ”, ou seja
tfrac13,|C| = 10 Longrightarrow |C| = 30
Mas como , temos de fato
então é exatamente o número de elementos nos três conjuntos, que a condição (v) diz ser 10.
Logo

Passo 4

O que o exercício pede é |C - A| = |C| - |Ccap A| , isto é os elementos de |C - A| = 30 - 10 = 20 que NÃO estão em . Pela definição,
Substituindo e , vem

Resposta

O número de elementos em é 20.

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