(3 pontos) Considere o sistema linear A x=b :
\left\{\begin{array}{l} 2 x+y+z=4 \\\\ 4 x+3 y+3 z=10 \\\\ 8 x+7 y+9 z=28 \end{array}\right.
a) Encontre a fatoração L U da matriz dos coeficientes A.
b) Resolva o sistema A x=b.

Passo 1

O enunciado dá o sistema linear
\begin{cases} 2x + y + z = 4,\\\\ 4x + 3y + 3z = 10,\\\\ 8x + 7y + 9z = 28, \end{cases}
e pede:
a) a fatoração A = LU da matriz dos coeficientes
A = \begin{pmatrix}2 & 1 & 1 \\\\ 4 & 3 & 3 \\\\ 8 & 7 & 9\end{pmatrix},
b) a solução x do sistema.
Vamos usar o método de Doolittle (eliminação de Gauss sem pivoteamento) para obter L e U, depois resolver por substituição direta e reversa.

Passo 2

Aplicando eliminação de Gauss em A:
  1. Pivô principal U_{11}=2.
L_{21} = \frac{4}{2} = 2,\quad L_{31} = \frac{8}{2} = 4.
Subtraindo 2 vezes a primeira linha de A da segunda, e 4 vezes da terceira, obtemos as novas linhas:
\text{linha}_2' = (4,3,3) - 2\,(2,1,1) = (0,1,1),
\text{linha}_3' = (8,7,9) - 4\,(2,1,1) = (0,3,5).
  1. Pivô U_{22}=1.
L_{32} = \frac{3}{1} = 3.
Subtraindo 3 vezes a segunda linha da terceira:
\text{linha}_3'' = (0,3,5) - 3\,(0,1,1) = (0,0,2).
Assim chegamos a
U = \begin{pmatrix} 2 & 1 & 1\\\\ 0 & 1 & 1\\\\ 0 & 0 & 2 \end{pmatrix}, \quad L = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\\\ 2 & 1 & 0\\\\ 4 & 3 & 1 \end{pmatrix}.

Passo 3

Agora resolvemos Ly = b\) por substituição direta, com \(b=(4,10,28)^T\): \[\begin{cases} y_1 = 4,\\\\ 2y_1 + y_2 = 10 \implies 2\cdot4 + y_2 = 10 \implies y_2 = 2,\\\\ 4y_1 + 3y_2 + y_3 = 28 \implies 4\cdot4 + 3\cdot2 + y_3 = 28 \implies y_3 = 6. \end{cases}
Logo (y = (4,2,6)^T].

Passo 4

Por fim resolvemos Ux = y\) por substituição reversa: \[\begin{cases} 2x_3 = 6 \implies x_3 = 3,\\\ x_2 + x_3 = 2 \implies x_2 = 2 - 3 = -1,\\\\ 2x_1 + x_2 + x_3 = 4 \implies 2x_1 -1 +3 = 4 \implies x_1 = 1. \end{cases}
Então a solução é (x = (1,-1,3)^T].

Resposta

a)
L = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\\\ 2 & 1 & 0\\\\ 4 & 3 & 1 \end{pmatrix}, \quad U = \begin{pmatrix} 2 & 1 & 1\\\\ 0 & 1 & 1\\\\ 0 & 0 & 2 \end{pmatrix}.
b)
x = \begin{pmatrix}1 \\\\ -1 \\\\ 3\end{pmatrix}.

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