Seja a tabela
c|c|c $x$ & 1 & 3 hline$y$ & 5 & 11 1 3
5 11
(a) Determinar o polinômio interpolador de grau 1 que passa pelos pontos da tabela acima.
(b) Achar a reta de mínimos quadrados, usando os pontos da tabela acima.
© O que você observa comparando os itens (a) e (b)?

Passo 1

Temos dois pontos na tabela: (1,5) e (3,11). Vamos achar o polinômio interpolador de grau 1, a reta de mínimos quadrados e comparar. Isso envolve interpolação linear e regressão por mínimos quadrados, usando fórmulas para coeficientes angular e linear.

Passo 2

O polinômio interpolador de grau 1 tem forma p(x)=mx+b. Calculamos o coeficiente angular m e o coeficiente linear b:
m = y2 - y1x2 - x1 = 11 - 53 - 1 = 3
b = y1 - m,x1 = 5 - 3 cdot 1 = 2
Logo,
p(x) = 3x + 2

Passo 3

Para a reta de mínimos quadrados y = mx + b em um conjunto de n pontos, usamos as fórmulas:
m = nsum xi yi - (sum xi)(sum yi)nsum xi^2 - (sum xi)^2, b = sum yi - msum xin
No nosso caso, n=2 e
sum xi = 1 + 3 = 4, sum yi = 5 + 11 = 16, sum xi yi = 1cdot5 + 3cdot11 = 38, sum xi^2 = 1^2 + 3^2 = 10
Então
m = 2cdot38 - 4cdot162cdot10 - 4^2 = 76 - 6420 - 16 = 3
b = 16 - 3cdot42 = 16 - 122 = 2
Logo, a reta de mínimos quadrados é
y = 3x + 2

Passo 4

Observamos que o polinômio interpolador e a reta de mínimos quadrados coincidem. Com apenas dois pontos, a reta que interpola também minimiza o erro quadrático, pois o ajuste passa exatamente pelos pontos.

Resposta

(a) p(x)=3x+2;
(b) reta de mínimos quadrados y=3x+2;
© ambas coincidem, pois com dois pontos a reta de mínimos quadrados passa exatamente por eles, igualando ao interpolador.

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