Utilize o método de interpolação de Lagrange para encontrar o polinômio que passa pelos pontos (-1,4),(0,1),(2,-1) e (3,8) (multiplique esses pontos pelos seus dois últimos números de matrícula). Mostre os passos do cálculo e Apresente os polinômios de Lagrange L i(x) e o polinômio interpolador final P(x).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de interpolação de Lagrange juntos! A gente tem que encontrar um polinômio que passa pelos pontos (-1,4), (0,1), (2,-1) e (3,8). Para isso, vamos usar o método de interpolação de Lagrange, que nos ajuda a encontrar um polinômio que passa exatamente por esses pontos. Vamos precisar lembrar como construir os polinômios de Lagrange Li(x) para cada ponto e depois somá-los para obter o polinômio final P(x).

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que são os polinômios de Lagrange. Para cada ponto (xi, yi), o polinômio Li(x) é construído de forma que ele valha 1 no xi correspondente e 0 nos outros xj. A fórmula geral para Li(x) é:
Li(x) = prodsubstackj=0 j neq i^n x - xjxi - xj
Onde n é o número de pontos menos um.

Passo 3

Vamos identificar nossos pontos:
  • x0 = -1, y0 = 4
  • x1 = 0, y1 = 1
  • x2 = 2, y2 = -1
  • x3 = 3, y3 = 8
Agora, vamos construir cada Li(x).

Passo 4

Vamos começar com L0(x), que corresponde ao ponto (-1,4):
L0(x) = (x - x1)(x - x2)(x - x3)(x0 - x1)(x0 - x2)(x0 - x3) = (x - 0)(x - 2)(x - 3)(-1 - 0)(-1 - 2)(-1 - 3) = x(x - 2)(x - 3)(-1)(-3)(-4) = x(x - 2)(x - 3)-12

Passo 5

Agora, L1(x) correspondente ao ponto (0,1):
L1(x) = (x - x0)(x - x2)(x - x3)(x1 - x0)(x1 - x2)(x1 - x3) = (x - (-1))(x - 2)(x - 3)(0 - (-1))(0 - 2)(0 - 3) = (x + 1)(x - 2)(x - 3)(1)(-2)(-3) = (x + 1)(x - 2)(x - 3)6

Passo 6

Vamos para L2(x), referente ao ponto (2,-1):
L2(x) = (x - x0)(x - x1)(x - x3)(x2 - x0)(x2 - x1)(x2 - x3) = (x - (-1))(x - 0)(x - 3)(2 - (-1))(2 - 0)(2 - 3) = (x + 1)x(x - 3)(3)(2)(-1) = (x + 1)x(x - 3)-6

Passo 7

Por último, L3(x) para o ponto (3,8):
L3(x) = (x - x0)(x - x1)(x - x2)(x3 - x0)(x3 - x1)(x3 - x2) = (x - (-1))(x - 0)(x - 2)(3 - (-1))(3 - 0)(3 - 2) = (x + 1)x(x - 2)(4)(3)(1) = (x + 1)x(x - 2)12

Passo 8

Agora que temos todos os Li(x), vamos construir o polinômio interpolador P(x) somando cada Li(x) multiplicado pelo respectivo yi:
P(x) = y0 L0(x) + y1 L1(x) + y2 L2(x) + y3 L3(x)
Substituindo os valores:
P(x) = 4 cdot ( x(x - 2)(x - 3)-12 ) + 1 cdot ( (x + 1)(x - 2)(x - 3)6 ) + (-1) cdot ( (x + 1)x(x - 3)-6 ) + 8 cdot ( (x + 1)x(x - 2)12 )

Passo 9

Vamos simplificar cada termo:
  1. 4 cdot x(x - 2)(x - 3)-12 = -412x(x - 2)(x - 3) = -13x(x^2 - 5x + 6) = -13(x^3 - 5x^2 + 6x)
  2. 1 cdot (x + 1)(x - 2)(x - 3)6 = (x + 1)(x^2 - 5x + 6)6 = x^3 - 4x^2 + x + 66
  3. -1 cdot (x + 1)x(x - 3)-6 = (x + 1)x(x - 3)6 = (x^2 + x)(x - 3)6 = x^3 - 2x^2 - 3x6
  4. 8 cdot (x + 1)x(x - 2)12 = 812(x + 1)x(x - 2) = 23(x^3 - x^2 - 2x) = 2x^3 - 2x^2 - 4x3

Passo 10

Agora, somamos todos os termos:
P(x) = -13x^3 + 53x^2 - 2x + 16x^3 - 23x^2 + 16x + 8 cdot (x + 1)x(x - 2)12
Vamos simplificar os termos:
P(x) = (-13x^3 + 16x^3) + (53x^2 - 23x^2) + (-2x + 16x) + 2x^3 - 2x^2 - 4x3
Simplificando:
P(x) = (-13 + 16)x^3 + (53 - 23)x^2 + (-2 + 16)x + 2x^3 - 2x^2 - 4x3
P(x) = -16x^3 + x^2 - 116x + 2x^3 - 2x^2 - 4x3
Convertendo para denominador comum:
P(x) = -16x^3 + x^2 - 116x + 2x^3 - 2x^2 - 4x3 = -16x^3 + x^2 - 116x + 23x^3 - 23x^2 - 43x
Somando os termos semelhantes:
P(x) = (-16 + 23)x^3 + (1 - 23)x^2 + (-116 - 43)x
Convertendo para denominadores iguais:
P(x) = (-16 + 46)x^3 + (33 - 23)x^2 + (-116 - 86)x
P(x) = 36x^3 + 13x^2 - 196x
Simplificando:
P(x) = 12x^3 + 13x^2 - 196x

Resposta

O polinômio interpolador de Lagrange que passa pelos pontos dados é:
P(x) = 12x^3 + 13x^2 - 196x

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