Utilize o método de interpolação de Lagrange para encontrar o polinômio que passa pelos pontos
e
(multiplique esses pontos pelos seus dois últimos números de matrícula). Mostre os passos do cálculo e Apresente os polinômios de Lagrange
e o polinômio interpolador final
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de interpolação de Lagrange juntos! A gente tem que encontrar um polinômio que passa pelos pontos
,
,
e
. Para isso, vamos usar o método de interpolação de Lagrange, que nos ajuda a encontrar um polinômio que passa exatamente por esses pontos. Vamos precisar lembrar como construir os polinômios de Lagrange
para cada ponto e depois somá-los para obter o polinômio final
.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que são os polinômios de Lagrange. Para cada ponto
, o polinômio
é construído de forma que ele valha 1 no
correspondente e 0 nos outros
. A fórmula geral para
é:
Onde
é o número de pontos menos um.
Passo 3
Vamos identificar nossos pontos:
-
, -
, -
, -
,
Agora, vamos construir cada
.
Passo 4
Vamos começar com
, que corresponde ao ponto
:
Passo 5
Agora,
correspondente ao ponto
:
Passo 6
Vamos para
, referente ao ponto
:
Passo 7
Por último,
para o ponto
:
Passo 8
Agora que temos todos os
, vamos construir o polinômio interpolador
somando cada
multiplicado pelo respectivo
:
Substituindo os valores:
Passo 9
Vamos simplificar cada termo:
Passo 10
Agora, somamos todos os termos:
Vamos simplificar os termos:
Simplificando:
Convertendo para denominador comum:
Somando os termos semelhantes:
Convertendo para denominadores iguais:
Simplificando:
Resposta
O polinômio interpolador de Lagrange que passa pelos pontos dados é: